418
правок
Изменения
→Свойства
== Свойства ==
=== Количество вершин и рёбер в ячейке Связь с пересечением полуплоскостей ===
Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(r, q)</tex>. Отсюда вытекает следующее:
{{Утверждение
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.
=== Отсутствие прямых в общем случае Топология диаграммы Вороного ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>Vor(P)</tex> представляет собой <tex>n - 1</tex> параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
}}
=== Линейность Размер структуры ===
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
