Изменения

Предварительно заметим, что в доказательстве используются утверждения лемм [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности#l1|леммы I]] и [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности#l2|леммы II]] из статьи [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности]]. Итак, уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>v_1</tex> (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l2|лемме II]] это возможно). Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит вершина <tex>v_1</tex> изолирована, в таком случае возьмем любую укладку <tex>G_1</tex> на плоскости и переместим точку, соответствующую <tex>v_1</tex> во внешнюю грань. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex> так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежную с <tex>v_1</tex>. Рассмотрим множество <tex>U</tex> вершин смежных с <tex>v_1</tex>. Уберем кривые, соответствующие ребрам, инцидентным <tex>v_1</tex>. Ясно, что после этого множество вершин <tex>U</tex> лежит на внешней границе укладки <tex>G_1</tex>. Соединим теперь каждую вершину из <tex>U</tex> c <tex>v_2</tex> непересекающимися жордановыми линиями так, чтобы они не задевали укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Таким образом мы совместили вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> в вершине <tex>v_2</tex>, а значит получили укладку графа <tex>G</tex> на сфере, следовательно <tex>G</tex> - планарен.