Изменения

==ПримерыРазноцветное дерево ==

# <tex>M_1</tex> {{---}} графовый матроид, <tex>M_2</tex> {{---}} '''разноцветный матроид''' (англ. ''multicolored matroid'') (Множество независимо, если в нём нет двух ребер одного цвета). Тогда их пересечение {{---}} это разноцветный лес (англ. ''rainbow forests'').# {{Утверждение|statement =Пересечение данных матроидов является матроидом.|proof =Рассмотрим пару <tex>\langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>, <tex>X</tex> {{---}} носитель, <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>. }} == Двудольный граф ==Пусть <tex>G</tex> {{---}} двудольный граф и заданы два матроида <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle</tex>, <tex>M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>, где <tex>X</tex> {{---}} множество ребёр графа, <tex>\mathcal{I}_1 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in L \}</tex>, <tex>\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in R \}</tex>. Тогда их пересечение {{---}} это множество всевозможных паросочетаний графа. Заметим, что пересечение {{Утверждение|statement =Пересечение данных матроидов не является матроидом.# |proof =Рассмотрим пару <tex>\langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>, <tex>X</tex> {{---}} носитель, <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>.Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть <tex>\exists A, B \in I, |A| > |B| </tex> и <tex>\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in I</tex> (См. пример 1)[[Файл:Example_DY.png|200px|thumb|left|Пример 1]]}} == Ориентированное дерево =={{Определение|definition='''Ориентированное дерево''' (англ. ''arborescence'') {{---}} ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге).}}Пусть <tex>D = \langle V, A \rangle </tex> {{---}} [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%28%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2%29|<tex>r</tex>-ориентированное дерево]. Пусть граф <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф, соответствующий графу <tex>D</tex>. Тогда рассмотрим два матроида <tex>M_1 = \langle A, \mathcal{I}_1 \rangle, M_2 = \langle A, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>, где <tex>A</tex> {{---}} множество ребёр графа, <tex>M_1</tex> {{---}} графовый матроид <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg^-(v) \leqslant 1 \: \forall v \in V \setminus \{r\} \}</tex>. Пересечения данных матроидов является ориентированным деревом.