Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Математическая индукция

2217 байт добавлено, 19:30, 4 сентября 2022
м
rollbackEdits.php mass rollback
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]== Определение ==Математическая индукция {{В разработке---}}способ рассуждения, применяемый, в частности, в [[Математический анализ 1 курс|математическом анализе]], заключающийся в следующем:
Пусть имеется последовательность свойств <tex> P_1, P_2 \dots P_n \dots </tex># <tex> P_1 </tex> {{Определение ---}} истина# <tex> P_k \Rightarrow P_{k+1} </tex> {{---}} шаг индукции# Тогда все <tex> P_n </tex> {{---}} истинны == Примеры использования == === Неравенство Бернулли ==={{Утверждение|about = неравенство Бернулли| definition statement = <tex> \forall n \in N; \forall x > -1 : {(1 + x)}^n \ge 1 + nx </tex>|proof = <br /># <tex> n = 1: 1 + x \ge 1 + x </tex> {{---}} верно# <tex> {(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^n (1 + x) \ge (1 + nx) (1 + x) = </tex><br /><tex> = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n + 1)x + nx^2</tex>, так как <tex> nx^2 \ge 0 </tex>, то <tex> {(1 + x)}^{n + 1} \ge 1 + (n + 1)x </tex>
}}
Математическая индукция === Конечный бином Ньютона === Для того, чтобы сформировать следующее утверждение, определим систему чисел, называемую биномиальными коэффициентами: <br />:<tex> 0! = 1 \\ n! = n(n- способ рассужжения, заключающийся в следующем1)! = n (n-1) (n-2) \dots 1 </tex>:<tex dpi = "150"> m \le n:C_n^m = \frac {n!} {(n-m)!m!} \\ \\C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1} = \\ = C_n^m + C_n^{m-1} = \frac {n!} {(n-m)!m!} + \frac {n!} {(n-m+1)!(m-1)!} = \\ = \frac {n!((n - m + 1) + m)} {m!((n+1) - m)!} = \frac {n!(n+1)} {((n+1)-m)!m!} = C_{n+1}^m </tex>
Пусть имеется последовательность свойств <tex> P_1, P_2 \dots P_n </tex>
# <tex> P_1 </tex> - истина
# <tex> P_n \Rightarrow P_{n+1} </tex> - шаг индукции
# Тогда все <tex> P_n </tex> - истинны
{{Утверждение
|about =
неравенство Бернулликонечный бином Ньютона
|statement =
<tex> a, b \forall in R; n \in N; \forall x > -1 : {(1 a + xb)}^n >= 1 + nx \sum_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n - k} </tex>
|proof = <br />
# <tex> Для n = 1: 1 + x >= 1 + x </tex> {{--- верно}} очевидно# <tex> {(1 a + xb)}^{n + 1} = a{(1 a + xb)}^n (1 + x) >= b{(1 a + nx) (1 + xb) }^n = </tex><br />:<tex> = 1 + x + nx + nx\sum\limits_{k = 0}^2 >= 1 + (n C_n^k a^{k + 1)x } b^{n - P_k} + \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n- k +1} = </tex>
:<tex> = \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + \sum\limits_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex>
 
:<tex> = C_n^n a^{n + 1} b^0 + \sum\limits_{j = 1}^n C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + C_n^0 a^0 b^{n+1} + \sum\limits_{i = 1}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex>
 
:<tex> = 1 (a^{n + 1} + b^{n + 1}) + \sum\limits_{j = 1}^n (C_n^{j - 1} + C_n^j) a^j b^{n - j + 1}</tex>
 
:Так как <tex>1 = C_{n + 1}^{n + 1} = C_{n + 1}^0 </tex> , то
 
:<tex> = C_{n + 1}^{n + 1} a^{n + 1} b^0 + C_{n + 1}^0 a^0 b^{n + 1} + \sum\limits_{j = 1}^n C_{n + 1}^j a^j b^{n - j + 1}</tex>
 
:Занесем первые два слагаемых под знак суммы и получим:
 
:<tex> = \sum\limits_{j = 0}^{n + 1} C_{n + 1}^j a^j b^{n + 1 - j}</tex> , что есть разложение для <tex> {(a + b)}^{n + 1} </tex>
}}
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
1632
правки

Навигация