Итоговое время работы алгоритма <tex>O(n + m)</tex>.
===Пример худшего случая===
Если количество подстрок данной строки превышает количество хешей (а это выполняется тогда, когда длина строки больше <tex>r</tex>, так как количество различных значений полиномиального хеша совпадает с <tex>r</tex>), то наступление [[Разрешение_коллизий | коллизий]] неизбежно. Но даже при относительно небольших строках вероятность коллизий может быть [[Хеш-таблица#Введение | высока]], не говоря уже о способах составления специальных строк, где алгоритм на хешах выдаёт частые ложные срабатывания.
Например, возьмем за <tex>S</tex> [[Слово_Туэ-Морса | строку Туэ-Морса]]<ref>[http://codeforces.ru/blog/entry/4898 Codeforces: Anti-hash test]</ref> длиной <tex>2^{k}</tex>, <tex>r = 2^{64}</tex>, <tex>p</tex> — любое просто число.
Обозначим за <tex>S_k</tex> строку <tex>S</tex> для фиксированного <tex>k</tex> , а за <tex>S'_k</tex> инвертированную строку <tex>S</tex>.
Покажем, что при <tex>k < 12</tex>, <tex>\mathrm{hash}(S_k) = \mathrm{hash}(S'_k)</tex>. Ведь если это так, то сами по себе <tex>S_k</tex> и <tex>S'_k</tex> встретятся в б''о''льших строках много-много раз.
Разберемся, что значит <tex>\mathrm{hash}(S_k) = \mathrm{hash}(S'_k)</tex>. Можно смело заменить коды символов на нули и единицы в коэффициентах многочлена — тем самым мы просто сократим обе части на <tex>\sum\limits_{i=0}^{2^k - 1} 65 \cdot p^i</tex>.
Величина <tex>\mathrm{hash}(S_k) - \mathrm{hash}(S'_k)</tex> есть некоторое число <tex>T = p^{0} - p^{1} - p^{2} + p^{3} - p^{4} + p^{5} + p^{6} - p^{7} ... \pm p^{2^k - 1}</tex>. То есть это сумма степеней <tex>p</tex>, где знаки чередуются по тому же правилу, что и символы в строке.
Будем последовательно выносить из этой суммы множители за скобку:
<tex>T = (p^{1} - 1)( - p^{0} + p^{2} + p^{4} - p^{6} + p^{8} - p^{10} - p^{12} + p^{14} ...) = </tex>
<tex> = (p^{1} - 1)(p^{2} - 1)(p^{0} - p^{4} - p^{8} + p^{12} ...) = ... = (p^{1} - 1)(p^{2} - 1)(p^{4} - 1) ... (p^{2^{k-1}} - 1).</tex>
Покажем, что <tex>T</tex> <tex>\mathrm{mod}</tex> <tex>r = 0</tex>:
Нужно понять, на какую максимальную степень двойки делится каждая из <tex>k - 1</tex> скобок. Заметим, что <tex>(i + 1)</tex>-ая скобка <tex>p^{2^{i + 1}} - 1 = (p^{2i} - 1)(p^{2i} + 1)</tex> делится на <tex>i</tex>-ую и ещё на какое-то чётное число <tex>p^{2i} + 1</tex>. Это означает, что если <tex>i</tex>-ая скобка делится на <tex>2^r</tex>, то <tex>(i + 1)</tex>-ая скобка делится по меньшей мере на <tex>2^{r + 1}</tex>.
Получается, что <tex>(p^1 - 1)(p^2 - 1)(p^4 - 1)...(p^{2k - 1} - 1)</tex> делится по меньшей мере на <tex>2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot ... = 2^{k(k - 1) / 2}</tex>.
Мы показали, что если k < 12, то величина <tex>\mathrm{hash}(S_k) - \mathrm{hash}(S'_k) = 0</tex>, то есть <tex>\mathrm{hash}(S_k) = \mathrm{hash}(S'_k)</tex>. Значит достаточно взять <tex>k >= 12</tex>, чтобы в рассматриваемой строке было очень много различных подстрок, чьи хеши совпадут.
== Сравнение с другими алгоритмами ==
