Изменения

'''Алгоритм Фарака-Колтона, Бендера (алгоритм Фарах-Колтона, Бендера)''' — применяется для решения за <tex>\langle O(N),O(1) \rangle</tex> времени специального случая задачи <tex>RMQ </tex> (поиск минимума на отрезке), в котором соседние элементы входной последовательности различаются на ±1. Может быть использован также для [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ|решения задачи <tex>LCA</tex>]].

'''Вход:''' последовательность <tex>a_i</tex> длины {{Задача|definition = Дан массив <tex>A[1 \ldots N]</tex>целых чисел, соседние элементы которой которого отличаются на ±1.<brtex>\pm 1</tex>'''Выход:''' ответы на . Поступают онлайн запросы вида «позиция минимума на отрезке <tex>(l, r)</tex>, для каждого из которых требуется найти минимум среди элементов <tex>A[i:jl], A[l + 1], \ldots, A[r]</tex>».}}

Данный алгоритм основывается на методе решения задачи <tex>RMQ </tex> с помощью [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженной таблицы (sparse table, ST)]] за <tex>\langle O(N \log N),O(1) \rangle</tex>. Чтобы избавиться от логарифма используется предподсчёт ответа для небольших подстрок входной последовательности. Разделим последовательность <tex>A_i</tex> на блоки длины <tex>\frac{1}{2}\log_2 N</tex>. Для каждого блока вычислим минимум на нём и определим <tex>B_i</tex> как позицию минимального элемента в <tex>i</tex>-ом блоке. 

На новой последовательности <tex>b_iB_i</tex> построим [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженную таблицу]]. Теперь для ответа на запрос <tex>RMQ</tex><tex>[il:jr]</tex>, если <tex>il</tex> и <tex>jr</tex> находятся в разных блоках, нам необходимо вычислить следующее:# минимум на отрезке от <tex>il</tex> до конца блока, содержащего <tex>il</tex> блока;# минимум по всем блокам, находящимся между блоками, содержащими <tex>il</tex> и <tex>jr</tex>;# минимум от начала блока, содержащего <tex>jr</tex>, до <tex>jr</tex>.

[[Файл:F-C_B_algo.png|500px|center|Части, из которых состоит ответ на запрос RMQ]] Второй элемент мы уже умеем находить за <tex>O(1)</tex> с помощью <tex>b_iB_i</tex> и ST. Осталось научиться находить минимум по отрезку, границы которого не совпадают с границами блоков.

|statement=Если две последовательности <tex>x_i</tex> и <tex>y_i</tex> таковы, что все их элементы на соответствующих позициях различаются на одну и ту же константу (т.е. <tex>\forall k: x_k = y_k + C</tex>), то любой запрос <tex>RMQ </tex> даст один и тот же ответ для обеих последовательностей.

|proof=Соседние элементы в блоках отличаются на ±1<tex>\pm 1</tex>. Первый элемент в нормализованном блоке всегда равен нулю. Таким образом, каждый нормализованный блок может быть представлен ±1<tex>\pm 1</tex>-вектором длины <tex>(\frac{\log_2 N1}{2}\log_2 N) - 1</tex>. Таких векторов <tex>2^{(\frac{1/}{2 \cdot } \log_2 N) - 1} = O(\sqrt N)</tex>.

Осталось создать <tex>O(\sqrt N)</tex> таблиц — {{---}} по одной для каждого типа блока. В такую таблицу необходимо занести предподсчитанные ответы на все возможные запросы минимума внутри блока соответствующего типа, коих которых <tex>(\frac{\log_2 N1}{2}\log_2 N)^2 = O(\log^2 N)</tex>. Для каждого блока в <tex>b_iB_i</tex> необходимо заранее вычислить его тип. Таким образом мы получили возможность отвечать на запрос минимума по любой части блока за <tex>O(1)</tex>, затратив на предподсчёт <tex>O(\sqrt N \log^2 N)</tex> времени.  === Псевдокод ===<code>  precalc(A : '''int[]''', N : '''int''') block_size = log(N) / 2 <font color=green> // размеры блоков </font> K = <tex>\lceil</tex>N / block_size<tex>\rceil</tex> <font color=green> // количество блоков </font> <font color=green>// предподсчитаем позиции минимумов в каждом блоке</font> cur_block = 0 j = 0 '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 B[i] = -1 '''for''' i = 0 '''to''' N - 1 '''if''' j <tex>\ge</tex> block_size j = 0 cur_block++ '''if''' B[cur_block] = -1 '''or''' A[B[cur_block]] > A[i] B[cur_block] = i <font color=green>// построим Sparse table на массиве B</font> '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 ST[i][0] = B[i] '''for''' j = 1 '''to''' log(N) '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 ind = (1 << (j - 1)) + i '''if''' ind <tex>\ge</tex> K ST[i][j] = ST[i][j - 1] '''else if''' A[ST[i][j - 1]] > A[ST[ind][j - 1]] ST[i][j] = ST[ind][j - 1] '''else''' ST[i][j] = ST[i][j - 1] <font color=green>// Посчитаем хеш для каждого блока {{---}} он будет являться типом блока</font> cur_block = 0 j = 0 '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 hash[i] = 0 '''for''' i = 0 '''to''' N - 1 '''if''' j <tex>\ge<tex> block_size j = 0 cur_block++ '''if''' j > 0 '''and''' (i <tex>\ge</tex> n '''or''' A[i - 1] < A[i]) hash[cur_block] += (1 << (j - 1)) <font color=green>// Осталось только для каждого блока предподсчитать позиции минимумов на всех подотрезках</font> '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 '''for''' l = 0 '''to''' block_size - 1 '''for''' r = 0 '''to''' block_size - 1 block_min[i][l][r] = -1 '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 type = hash[i] '''if''' block_min[type][0][0] = -1 <font color=green>// если там записано, что-то отличное от -1, то значит, мы уже посчитали ответ для такого типа отрезков</font> '''for''' l = 0 '''to''' block_size - 1 block_min[type][l][l] = l '''for''' r = l + 1 '''to''' block_size - 1 block_min[type][l][r] = block_min[type][l][r - 1] '''if''' i * block_size + r <tex>\le</tex> N '''and''' A[i * block_size + block_min[type][l][r]] > A[i * block_size + r] block_min[type][l][r] = r  '''int''' block_RMQ(block_number : '''int''', l : '''int''', r : '''int''') '''return''' block_min[hash[block_number]][l][r] + block_number * block_size  '''int''' RMQ(l : '''int''', r : '''int''') bl = l / block_size br = r / block_size '''if''' bl = br <font color=green>// если оба индекса внутри одного блока</font> '''return''' A[block_RMQ(bl, l % block_size, r % block_size)] '''if''' bl + 1 < br <font color=green>// найдем минимум на блоках между крайними, если таковые есть</font> power = log(br - bl + 1) ansb = min(A[ST[bl + 1][power]], A[ST[br - (1 << power)][power]]) ansl = A[block_RMQ(bl, l % block_size, block_size - 1)] <font color=green>// найдем минимум на отрезке от l до конца блока, содержащего l</font> ansr = A[block_RMQ(bl, 0, r % block_size)] <font color=green>// найдем минимум от начала блока, содержащего r, до r </font> '''return''' min(ansb, min(ansl, ansr))   </code>

== Источники информации==* ''Bender, M.A., Farach-Colton, M.'' — '''{{---}} The LCA Problem Revisited'''. — LATIN (2000), с. 88-94