1302
правки
Изменения
→Задача интерполяция
{{Определение
|definition=
Система узлов — набор из чисел <tex>x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n</tex> и <tex>y_0, y_1, y_2, y_3, \ldots ,y_n</tex>.
}}
Дана система узлов <tex>x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n</tex> и <tex>y_0, y_1, y_2, y_3, \ldots ,y_n</tex>. Требуется найти полином <tex>P_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что для любого <tex>k=\overline{0,n}</tex> верно, что <tex>P_n(x_k) = y_k</tex>.
Будем искать его в форме Лагранжа, хотя имеется ряд равносильных представлений, например, в
форме Ньютона.
Очевидно, что если такой полином существует, то только один.Допустим, что существует еще один такой полином <tex>T_n(x)</tex>, удовлетворяющий условию <tex>T_n(x_k) = y_k</tex>. Рассмотрим разность
Будем искать его в форме Лагранжа. Для этого построим ''фундаментальные полиномы''.
|definition=
Фундаментальные полиномы <tex>\Phi_j(x)</tex> степени не выше <tex>n</tex> — полиномы, отвечающие заданной
системе узлов <tex>x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> такие, что
<tex>
\Phi_j(x_k) = \left\{
