Изменения
→Теорема Фубини
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> — сигма- сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \times \nu</tex><br><tex>f: \colon X \times Y \to \overline{\mathbb{R} - }</tex> — <tex>m</tex> — -сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x \,d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex># <tex>\int f \,d\nu = \int q \,d\mu</tex>
Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
<tex>f = f_+ - f_- \quad \int\limits_{X \times Y} f_\pm \,dm</tex> — кон.<br>
<tex>\displaystyle\int_{X \times Y} f \,dm = \int_{X \times Y} f_+ \,dm - \int_{X \times Y} f_- \,dm</tex><br>
<tex>\displaystyle\int(f_x)_+ , \int(f_x)_-</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex><br>
Т.к. <tex>f_+ \geqslant 0 \Rightarrow \displaystyle\int_X \left( \int_Y (f_x)_+ \,d\nu \right) d\mu</tex> — кон. <tex> \Rightarrow \displaystyle\int_Y (f_x)_+\,d\nu</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex>
<tex>
\varphi(x)_+ = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu \\
\varphi(x) = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu - \displaystyle\int_Y (f_x)_- \,d\nu \\
\int_X |\varphi(x)| \,d\mu = \int_X \left| \int_Y (f_x)_+ - \int_Y (f_x)_- \right| \,d\mu \leqslant \int_X \left( \left| \int_Y (f_x)_+ \right| - \left|\int_Y (f_x)_-\right| \right) \,d\mu \\
\int\limits_{X \times Y} f \,dm = \left(\int\limits_{X \times Y} f_+ \right) - \left(\int\limits_{X \times Y} f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f_+ - \int\limits_X \int\limits_Y f_- = {} \\ {} = \int\limits_X \left(\int\limits_Y f_+ - \int\limits_Y f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f
</tex>
}}
