Изменения
→Свойства модулей непрерывности
Доказательство ведется по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) t)\:\:=\:\:\omega(nt + t)\:\:\le\:\:\omega(nt) + \omega(t)\:\:\le\:\:n \omega(t) + \omega(t)\:\:=\:\:(n + 1) \omega (t)</tex>, ч. т. д.
2) <tex>\forall \lambda > 0</tex> верно <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)</tex><br /> Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex><tex>\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\:\:\le\:\:(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\:\:\le\:\:(1 + \lambda) \omega (t)</tex>
3) Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> убывает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />
