304
правки
Изменения
Нет описания правки
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
Важное значение имеет следующая теоремао выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте: {{Утверждение|statement=Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F</tex>, занумерованных индексом <tex>\alpha</tex>. Пусть <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha} f_{\alpha} (t)</tex>. Тогда <tex>f(t)</tex> - также выпуклая функция.|proof=Требуется показать, что::<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2), \ \beta \in [0; 1]</tex><br />Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha</tex> верно::<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)</tex>.<br />Но, по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)</tex>.<br />Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества <tex>F</tex>, получаем искомое неравенство.}}
{{Теорема
