Изменения
Нет описания правки
<tex>\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} > 0</tex> - функция возрастает.<br />
<tex>\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} < 0</tex> - функция является выпуклой вверх.
Из этого факта следует неравенство <tex>\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}</tex>
== Теорема о выпуклом модуле непрерывности ==
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
Важное значение имеет следующая теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:
{{Утверждение
|statement=
Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F</tex>F_\alpha(t), занумерованных индексом <tex>\alpha\in A</tex>. Пусть Тогда <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha\in A} f_{\alpha} (t)</tex>. Тогда <tex>f(t)</tex> - — также выпуклая функция.
|proof=
Требуется показать, что:
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2), \ \beta \in [0; 1]</tex><br />
Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha\in A</tex> верно:
:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)</tex>.<br />
Но, по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,
о выпуклом модуле непрерывности
|statement=
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такойтакая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega(t)</tex>
}}
