1302
правки
Изменения
→Неполнота числовой оси
<tex> d^2 < 2,\ d^2 = 2,\ d^2 > 2</tex>
Случай <tex> d^2=2</tex> — невозможно, доказывается через несократимость дроби <tex> d = \frac mn: </tex>невозможен. Докажем это.
Предположим, что <tex> d^2=2;\ d\in \mathbb Q </tex>, Значит число <tex>d</tex> можно представить в виде несократимой дроби <tex> d = \frac mn</tex>. Тогда: <tex> d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ </tex> 2 - простое, значит <tex>m</tex> делится без остатка на <tex>2n</tex>
<tex> m = 2p,\ 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\ n\:\vdots\:2</tex>, противоречие.
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
<tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \Leftrightarrow iff \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}, \ d^2 < 2, \ 2 - d^2 > 0 \Rightarrow \delta > 0 </tex>
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q;\ \delta_0 = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
<tex> A \le d;\ d + \delta_0 \le d,\ \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
}}
