403
правки
Изменения
Викификация — наш выбор! добавлены ништяки типа шаблонов и заголовков
понятие дифференциала.
<tex>f</tex> дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где
<tex>o(\Delta x)</tex> — такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>x \to 0</tex>.
Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют дифференциалом в точке <tex>x</tex>.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
}}
{{УтверждениеУтверждение.|statement=
Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) \Delta x</tex>.
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> — бесконечно малая.
}}
{{ОпределениеОпределение:|definition=
<tex>f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</tex>
}}
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной
значит, она не дифференцируема.
Докажем, например, второе свойство.
{{Утверждение
|statement=
<tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>}
|proof=
<tex>\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g</tex>
<tex>(fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} =
f'g + g'f
</tex>
}}
== Дифференцируемость сложной функции ==
Основное значение имеет правило дифференцирование сложной функции:
Здесь и далее будем считать, что <tex>o(0) = 0</tex>.
{{Теорема:|about=
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференциркема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема
в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex>
и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
Рассмотрим <tex>\Delta y = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0) + o(\Delta y)</tex>.
<tex>f(x + x_0) - f(x_0) = f(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
o(\Delta y) = o(\Delta x)
</tex>
}}
