Изменения
→Задача Коши
<tex>...</tex><br>
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex><br>
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд равомерно сходится к некоторой функции <tex>\bar{y}(x)</tex>, которая будет непрерывна и огранинченна ограничена в силу непрерывности и ограниченности <tex>y_{n}(x)</tex> ( d), e)).
<br> Теперь проверим, что <tex>\bar{y}(x)</tex> является решением задачи Коши. т.к. <tex>y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon > 0 \: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - \bar{y}(x) \right | < \varepsilon, \: </tex><tex>\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).</tex><br>
<tex>\left | y_{n}(x) - \bar{y}(x) \right | = \left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, \bar{y}))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - \bar{y} \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h</tex>. Видим, что для функции <tex>\bar{y}(x)</tex> выполяется <tex>\bar{y}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},\bar{y})d\bar{x}</tex> значит, она будет решением.<br>
Пусть <tex>\exists y^{\ast} = y^{\ast}(x) \: - </tex> решение задачи Коши: <tex>y^{\ast} \not\equiv y</tex>, оценим величину <tex>\left | y_{n} - y^{\ast} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y^{\ast}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y^{\ast} \right | d\bar{x} </tex><br>
так как <tex>\left | y_{1} - y^{\ast} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{0} - y^{\ast} \right | d\bar{x} \leqslant M l h</tex>, следовательно <tex>\left | y_{n} - y^{\ast} \right | \leqslant \frac{l^{n}Mh^{n}}{n!}</tex>, значит левая часть стремится к 0 при <tex>n \leftarrow +\infty</tex> и по единственности предела <tex>y^{\ast} \equiv y</tex>. Противоречие. }}
==Особые точки и особые решения==
{{Определение|definition = Пусть уравнение 1-го порядка удовлетворяет условию теоремы Пикара, тогда в любой точке из области D называется обыкновенной точкой. Иначе она называется особой.}}
{{Nota Bene|notabene= Через особые точки не проходит ни одной кривой, либо их не меньше двух.}}
