212
правок
Изменения
м
Для этой сетки Тогда справедливо уже доказанное соотношение, известное из планиметрии: <tex>V - E + F ' = 1 </tex>.
→Трехмерный случай
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} число вершин, <tex>E</tex> {{---}} число ребер и <tex>F</tex> {{---}} число граней данного многогранника.
|proof=
[[Файл:Hypercube.gif|350px|thumb|right|Пример невыпуклого многоугольника для которого <tex dpi = 100>V - E + F = 0</tex>. Многоугольник получен путем вырезания куба внутри куба.]]Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сеткупланарный граф, содержащую содержащий <tex>F' = F - 1</tex> многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями)внутренних граней, <tex>V</tex> вершин и <tex>E</tex> ребер.
Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
