== Теорема Кэли ==
В теории групп '''теорема Кэли''' (''Cayley's theorem'') утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (называемой также симметрической группой).
== Формулировка и доказательство критерия ==
{{
Теорема|author=Артур Кэли(''Arthur Cayley'')|statement=Любая конечная группа <tex>G</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок(симметрической группе).
|proof=
Пусть <tex>*</tex> - бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>. Так как <tex>G</tex> - группа, то существует обратный к <tex>g</tex> элемент <tex>g^{-1}</tex>, тогда <tex>f_g(x_1) = f_g(x_2) \Rightarrow x_1 = g^{-1}*f_g(x_1) = g^{-1}*f_g(x_2) = x_2</tex> , то есть <tex>f_g</tex> - перестановка.
TBDПусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.Рассмотрим множество <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K</tex>. Заметим, что *<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>. Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>. *<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>g*x = g'*x \Rightarrow g = g'</tex> (после домножения обеих частей на <tex>x^{-1}</tex>).*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>. Итак, <tex>T</tex> - биекция, то есть изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
}}
==Источники==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
