304
правки
Изменения
→Теорема о выпуклом модуле непрерывности
|proof=
Требуется показать, что:
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \ qquad \beta \in [0; 1]</tex><br />
Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha \in A</tex> верно:
:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />
Но по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />
Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества <tex>F</tex>, получаем искомое неравенство.
}}
|statement=
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>
|proof=
По свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> и <tex>t \geq ge 0</tex>. Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut</tex>.
Перепишем равенство : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t > 0} \,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)</tex>.Рассмотрим семейство функций <tex> \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t > 0</tex>. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда <tex>\omega^*(u)</tex> выпукла вверх по доказанному выше факту.
Докажем теперь, что <tex>\omega^*(u)</tex> - модуль непрерывности. Действительно,
#<tex>\omega^*</tex> выпукла вверх
#<tex>\omega^*(0) = \inf\limits_{t > 0}\,{\omega(t)} = 0</tex> (т. к. <tex>\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0</tex> )#<tex>\omega^*</tex> не убывает. В самом деле, <tex>u_1 \leq le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)</tex>. Переходя к инфимумам нижмин граням обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \leq le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \leq le \omega^*(u_2)</tex>.
Итак, построенная нами функция <tex>\omega^*(t)</tex> является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.
