403
правки
Изменения
м
маленькие поправки
{{Определение
|definition=
<tex>e = \lim\limits_{n \to \infinfty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\frac{e^x - 1}x \to 1</tex> при </tex>x \to 0</tex>
|proof=
<tex>\frac{e^x - 1}{x}</tex>(подставив <tex>t = e^x - 1</tex>) <tex> = \frac{t}{\ln (1 + t)}</tex>.
Однако, по только что доказанному, <tex>\frac{\ln (1 + x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 1 \Rightarrow \frac{t}{\ln (1 + t)} \xrightarrow[t \to 0] = {} 1</tex>
}}
вычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим.
== Вычисление производных некоторых функций ===
=== y = x^n ===
<tex>(x ^ {\alpha})', \ \alpha \in \mathbb{Q}</tex>.
|proof=
<tex>(x^{\frac{n}{m}})'</tex>(подставив <tex>t = x^{\frac 1m}</tex>) </tex> = n t^{m - 1} \frac 1m x ^ {\frac1m - 1} = \frac{n}{m} x ^ {\frac{n}{m} - 1}</tex>
}}
