Изменения
Нет описания правки
{{Лемма
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex dpi=140>\chi(G) \leqslant \fracdfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \fracdfrac{1}{4}}</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex dpi=140>\fracdfrac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \fracdfrac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \fracdfrac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \fracdfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \fracdfrac{1}{4}} </tex>.
}}
{{Лемма
|about = нижняя оценка Геллера
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами. Тогда, <tex dpi=140>\fracdfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) </tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.
<tex dpi=140>m \leqslant \fracdfrac{1}{2}n(n - 1) - \fracdfrac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \fracdfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \fracdfrac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \fracdfrac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi</tex>.
}}
