Изменения
Нет описания правки
|proof=
Рассмотрим все вызовы функции <tex>\mathrm{get(u)}</tex>. В процессе выполнения каждой операции двигаемся вверх по одному из деревьев, заканчивая поиск в его корне. Если вершина <tex>u</tex> не корень и не сын корня, то во время рекурсивных вызовов функции <tex>\mathrm{get(u)}</tex> текущее значение <tex>\mathrm{R(PL(u))}</tex> возрастает.
Пусть <tex>m</tex> — количество вызовов операции <tex>\mathrm{get(u)}</tex>, <tex>n</tex> — количество вызовов операции <tex>\mathrm{union(v, u)}</tex>, и <tex>m\geqslant n</tex>.
Разделим все вершины на <tex>4</tex> типа:
:2. <tex>u</tex> — сын корня. Таких вызовов <tex>\mathrm{get(u)}</tex> будет не больше чем <tex>m</tex>.
Оставшиеся вершины разделим на:
:3. Быстро растущие вызовы — такие что <tex>\mathrm{R(PL(u))} \geqslant i^{\mathrm{R(u)}}</tex>, где <tex>i</tex> — число из диапазона <tex dpi="150">e ^{\frac{1}{e}} < i < 2</tex> <tex dpi="150">(e ^{\frac{1}{e}}\approx </tex> <tex>1.44</tex><tex dpi="150">)</tex>.:4. Медленно растущие вызовы — <tex>\mathrm{R(PL(u))} < i^{\mathrm{R(u)}}</tex>.
Для первых двух типов вершин одна операция <tex>\mathrm{get(u)}</tex> работает за истинное время <tex>\mathrm{O(1)}</tex>, поэтому их суммарное время работы не превышает <tex>2\cdot m</tex>.
При каждом вложенном вызове функции <tex>\mathrm{get(u)}</tex> ранг вершины по условию возрастает на до <tex>i^{\mathrm{R(u)}}</tex>. Ранг вершины может меняться в пределах от <tex>0</tex> до <tex>\log_2n</tex>. Значит количество рекурсивных вызовов равняется количеству возведений в степень <tex>\mathrm{R(n)}</tex> числа <tex>i</tex>,
необходимых для достижения числа <tex>\log_2n</tex>. Или что то же самое, количеству логарифмирований по основанию <tex>i</tex> числа <tex>\log_2n</tex> для получения <tex>1</tex> и еще одному логарифмированию для получения <tex>0</tex>. Количество логарифмирований описывается функцией <tex dpi="130">\log^*_{i} \left (\log_2 n \right )</tex>. С учетом последнего логарифмирования формула примет вид <tex dpi="130">\log^*_{i}n</tex>.
Тогда время работы <tex>m</tex> быстро растущих вызовов равно <tex>\mathrm{O(m\cdot \log^* n)}</tex>.
