304
правки
Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} Пусть имеется функция <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти ф…»
{{В разработке}}
Пусть имеется функция <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию <tex>F(x)</tex>, такую, что <tex>F'(x) = f(x) \forall v \in [a; b]</tex>. Любая такая функция называется первообразной <tex>f</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex>
|proof=
Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны, следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа:
:<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>.
Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1) \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>.
}}
Пусть <tex>f</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается:
:<tex>\int f(x)dx = \{F(x) + C, F' = f, c \in \mathbb R\}</tex>
В силы исторической традиции равенство обычно записывают короче:
:<tex>\int f(x)dx = F(x) + C</tex>.
Также принято там, где нужно принимать под <tex>\int f(x)dx</tex> конкретную первообразную.
В некотором смысле, операции дифференцирования и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:
:<tex>\left ( \int f(x) df \right )' = f(x)</tex>
:<tex>\int f'(x)df - f(x)</tex>
Имеются две стандартные формулы для неопределённых интегралов.
# Интегрирование по частям
:<tex>(uv)' = u'v + uv'</tex>
:<tex>uv = \int (uv)'dx = \int u'v dx + \int uv' dx</tex>
:<tex>u'dx = du, \qquad v'dx = dv</tex>
:<tex>\int udv - uv - \int vdu</tex>
# Формула подстановки
:<tex>F(x) = \int f(x)dx, \qquad x = \varphi(t), t = \varphi^{-1}(x)</tex>:
:<tex>G(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt</tex>. Докажем, что <tex>F(x) = G(\varphi^{-1}(x))</tex>. Продифференцируем левую часть уравнения:
:<tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = G'(t)t' = f(\varphi(t))\varphi'(t)t'</tex>, но <tex>t' = \frac 1{\varphi'(t)}</tex>, следовательно, <tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = f(\varphi(t)) = f(x)</tex>, что и требовалось доказать.
Пусть имеется функция <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию <tex>F(x)</tex>, такую, что <tex>F'(x) = f(x) \forall v \in [a; b]</tex>. Любая такая функция называется первообразной <tex>f</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex>
|proof=
Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны, следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа:
:<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>.
Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1) \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>.
}}
Пусть <tex>f</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается:
:<tex>\int f(x)dx = \{F(x) + C, F' = f, c \in \mathbb R\}</tex>
В силы исторической традиции равенство обычно записывают короче:
:<tex>\int f(x)dx = F(x) + C</tex>.
Также принято там, где нужно принимать под <tex>\int f(x)dx</tex> конкретную первообразную.
В некотором смысле, операции дифференцирования и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:
:<tex>\left ( \int f(x) df \right )' = f(x)</tex>
:<tex>\int f'(x)df - f(x)</tex>
Имеются две стандартные формулы для неопределённых интегралов.
# Интегрирование по частям
:<tex>(uv)' = u'v + uv'</tex>
:<tex>uv = \int (uv)'dx = \int u'v dx + \int uv' dx</tex>
:<tex>u'dx = du, \qquad v'dx = dv</tex>
:<tex>\int udv - uv - \int vdu</tex>
# Формула подстановки
:<tex>F(x) = \int f(x)dx, \qquad x = \varphi(t), t = \varphi^{-1}(x)</tex>:
:<tex>G(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt</tex>. Докажем, что <tex>F(x) = G(\varphi^{-1}(x))</tex>. Продифференцируем левую часть уравнения:
:<tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = G'(t)t' = f(\varphi(t))\varphi'(t)t'</tex>, но <tex>t' = \frac 1{\varphi'(t)}</tex>, следовательно, <tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = f(\varphi(t)) = f(x)</tex>, что и требовалось доказать.
