1302
правки
Изменения
Нет описания правки
}}
=== (1 + 1/n)^n Второй замечательный предел ===
{{Определение
|definition=
<texdpi= "150">e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex>
}}
Из этого, подставив <texdpi= "150">x = \frac1n</tex> <texdpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}</tex>
Далее, прологарифмировав последнее равенство, получим:
<texdpi= "150">\frac{\log(1 + x)}x</tex> при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex>.
=== (e^x - 1)/x ===
{{Утверждение
|statement=
<texdpi= "150">\frac{e^x - 1}x \to 1</tex> при <tex>x \to 0</tex>
|proof=
<texdpi= "150">\frac{e^x - 1}{x}</tex>(подставив <tex>t = e^x - 1</tex>) <texdpi= "150"> = \frac{t}{\ln (1 + t)}</tex>.Однако, по только что доказанному, <texdpi= "150">\frac{\ln (1 + x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 1 \Rightarrow \frac{t}{\ln (1 + t)} \xrightarrow[t \to 0]{} 1</tex>
}}
Рассмотрим выражение <texdpi= "150">\frac{x^n - 1}{mx}, \ x \to 0</tex>. Оно (?)создаёт неопределённость <tex>\frac00</tex>. При этом, предел нельзя
вычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим.
* База: <tex>n = 1</tex>.
Это соответствует функции <tex>x</tex>. Тогда <texdpi= "150">\Delta y = \Delta x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1, \Delta x \to 0</tex>
Тогда <tex>x' = 1 = 1 \cdot x^{1 - 1}</tex>
Заметим, что если <tex>y = f(x)</tex> непрерывна и монотонна в окрестности <tex>0</tex>, а также, <tex>f'(x_0) \ne 0</tex>, то
обратная функция дифференцируема в <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, и её производная равна <texdpi= "150">\frac1{f'(x_0)}</tex>. Это следует из того факта, что <texdpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{\frac{\Delta x}{\Delta y}}</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Посчитаем <texdpi= "150">y' = (x^{\frac1n})' = \frac1n x^{\frac1n - 1}, \ n \in \mathbb{N}</tex>
|proof=
Согласно формуле дифференцирования обратной функции, <tex>x' = (y^n)' = n y^{n - 1}</tex>.
<texdpi= "150">y' = \frac{1}{x'} = \frac1{ny^{n - 1}} = \frac1n y_{1 - n} = \frac1n \left(x^{\frac1n}\right)^{1 - n} = \frac1n x^{n - 1}</tex>
}}
<tex>(x ^ {\alpha})', \ \alpha \in \mathbb{Q}</tex>.
|proof=
<texdpi= "150">(x^{\frac{n}{m}})'</tex>(подставив <tex>t = x^{\frac 1m}</tex>) <tex> = n t^{m - 1} \frac 1m x ^ {\frac1m - 1} = \frac{n}{m} x ^ {\frac{n}{m} - 1}</tex>
}}
<tex>\Delta y = e^{x + \Delta x} - e^x = e^x(e^{\Delta x} - 1)</tex>
Тогда <texdpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x \cdot \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}</tex>.
Ранее мы доказали, что <tex>\frac{e^x - 1}{x} \xrightarrow[x\to 0]{} 1</tex>.
Тогда <texdpi= "150">y' = \frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x</tex>.
Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать). Именно поэтому <tex>e</tex> занимает такое важное место в
{{Утверждение
|statement=
<texdpi= "150">\ln'(x) = \frac1x</tex>
|proof=
<tex>x = e^y</tex>. Тогда <tex>x' = e^y</tex>.
<texdpi= "150">y' = \frac{1}{x'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac1x</tex>
}}
Пусть <tex>y = \sin x</tex>.
<texdpi= "150">\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)</tex>
<texdpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2} \right)</tex>
Первый множитель, равный вычисленному ранее пределу, равен <tex>1</tex>, а второй при <tex>\Delta x \to 0</tex> стремится к <tex>\cos x</tex>.
Тогда <texdpi= "150">\sin'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \cos x</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
<texdpi= "150">\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \ y \in \left[-\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]</tex>
|proof=
<tex>y = \arcsin x \Rightarrow x = \sin y</tex>. Тогда <tex>x' = \cos x</tex>.
Так как <tex>\cos(\arcsin(x)) \leq 0</tex>, то <texdpi= "150">y' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\cos \arcsin x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 (\arcsin x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</tex>
Получаем <texdpi= "150">\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</tex>.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
