1302
правки
Изменения
Нет описания правки
<tex>\ln x</tex> выпукла вверх.
Рассмотрим <tex>\alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор <tex>\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}</tex>.
Применим неравенство Йенсена <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенциируем.
<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>
(неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим).
При <texdpi = "150">\alpha_k = \frac1n</tex> получается знакомая формула:
<texdpi = "150">\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n</tex>
Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда
{{Определение | definition =
Числа <tex>p</tex> и <tex>q</tex> называются сопряженными показателями, если <texdpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
}}
<texdpi = "150">\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}</tex> — неравенство Юнга.
== Теорема Гёльдера ==
Гёльдера
|statement=
Пусть <tex>a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <texdpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
Тогда
<tex>
По неравенству Юнга
<texdpi = "150">
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
Сложим по <tex>k = \overline{1, n}</tex>:
<texdpi = "150">
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q = </tex>
<texdpi = "150">\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B^q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B^q =
1
</tex>
Получили, что <texdpi = "150">\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB</tex>
<tex>p > 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 > 0</tex>.
Так как <tex>p > 1</tex>, положим <texdpi = "150">q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство Гёльдера:
