1302
правки
Изменения
Нет описания правки
Также принято там, где нужно принимать под <tex>\int f(x)dx</tex> конкретную первообразную.
В некотором смысле, операции [[Дифференциал и производная|дифференцирования ]] и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:
:<tex>\left ( \int f(x) dx \right )' = f(x)</tex>
:<tex>\int f'(x)dx = f(x)</tex>
:<tex>F(x) = \int f(x)dx, \qquad x = \varphi(t), t = \varphi^{-1}(x)</tex>:
:<tex>G(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt</tex>. Докажем, что <tex>F(x) = G(\varphi^{-1}(x))</tex>. Продифференцируем левую часть уравнения:
:<tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = G'(t)t' = f(\varphi(t))\varphi'(t)t'</tex>, но <tex>t' = \frac 1{\varphi'(t)}</tex>, следовательно, <tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = f(\varphi(t)) = f(x)</tex>, что и требовалось доказать.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
