Изменения
Свернута сумма
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| \sqrt{P_{n, k}(x)}\cdot \sqrt{P_{n, k}(x)}</tex> <tex>\le \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)} \cdot \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)} = \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}</tex>
Вставим полученное неравенство в оценку: <tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le 2\omega \left( f, \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}\,\right)</tex> (все эти преобразования были нужны, потому что суммы с модулем трудно сворачиваются).
Покажем теперь с помощью метода производящих функций, что <tex dpi="125">\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x) = \frac{x(1-x)}n</tex>. Для этого рассмотрим полином <tex>\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n a_k t^k</tex>, где <tex>{a_k}</tex> - произвольная конечная числовая последовательность (такой полином называют производящей функцией). Заметим, что:<tex>\varphi'(t) = \sum\limits_{k=1}^n k a_k t^{k-1}</tex> :<tex>\varphi''(t) = \sum\limits_{k=2}^n k(k-1) a_k t^{k-2}</tex>и поэтому:<tex>\varphi(1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k</tex> :<tex>\varphi'(1) = \sum\limits_{k=0}^n k a_k</tex> :<tex>\varphi''(1) = \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) a_k</tex> (в двух последних суммах слагаемые при <tex>k</tex>, равных <tex>0</tex> или <tex>1</tex>, обращаются в <tex>0</tex>, поэтому суммы определены корректно). Положим теперь <tex>a_k = P_{n,k}(x)</tex> и рассмотрим производящую функцию:<tex>\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) t^k = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k (xt)^k (1-x)^{n-k} = (xt + 1 - x)^n</tex> С целью упрощения дальнейших выкладок обозначим <tex>p = x, \, q = 1 - x, \, p + q = 1</tex>.:<tex>\varphi(t) = (pt + q)^n</tex>:<tex>\varphi'(t) = np(pt + q)^{n-1}</tex>:<tex>\varphi''(t) = n(n-1)p^2(pt + q)^{n-2}</tex>Т. к. <tex>p + q = 1</tex>, то:<tex>\varphi(1) = 1, \varphi'(1) = np, \, \varphi''(1) = n(n-1)p^2</tex> Вернемся к свертыванию суммы: :<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} = \frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex>Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что <tex>k^2 = k(k-1) + k</tex>.:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
