Изменения

Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "120140">\tau:a=x_0<x_1<...<x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется разбиением <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "120140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной текущего отрезка разбиения.<br><br>

<tex dpi = "120140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex><br><tex dpi = "120140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "120140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "120140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> называется интегральной суммой Римана по разбиению <tex>\tau</tex>.<br><tex dpi = "120140">I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \epsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex><br><br>

}}<br> Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex><br><br>Утверждение: Если <tex>f \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> — ограничена.<br><tex>\triangleright</tex> Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\epsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex dpi = "140">\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex> и варьируем <tex>\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.