264
правки
Изменения
Нет описания правки
}}
==Решение за <tex> O(n^3) </tex>==
Эта задача может быть решена сведением к решению [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях | задачи о назначениях]].
А именно, покажем, что решение задачи состоит сопоставлении <tex>n</tex> различным заданиям различных времен начала выполнения работы. Если сопоставляем работе <tex>i</tex> время <tex>t</tex>, то вклад в целевую функцию будет <tex> f_i(t + 1) </tex>. Далее будет показано, что при построении оптимального расписания нам нужно будет рассмотреть всего <tex>n</tex> различных времен начала работ. Следовательно, подобная задача может быть решена за <tex>O(n^3)</tex>.
Поскольку <tex>f_i</tex> {{---}} монотонно неубывающие функции, то это значит, что в оптимальном расписании работы должны начинать исполняться как можно раньше. Первые <tex>n</tex> самых ранних для начала исполнения времен <tex>t_i</tex> могут быть вычислены следующим алгоритмом, в котором мы предполагаем, что все работы отсортированы по неубыванию времени появления <tex>r_i</tex>:
<tex>V_1=\left \{ 1,\ldots,n \right\}</tex>
</tex>
</p>
Решив задачу о назначения для данного графа, получим оптимальное расписание.
==Доказательство корректности и оптимальности==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Существует оптимальное расписание <tex>S</tex> в котором все <tex>n</tex> задач распределены по всем временам <tex>t_i (i = 1\ldots n)</tex>, которые выбирает приведенный выше алгоритм.
|proof= Предположим, что в некоторое оптимальное расписание <tex>S</tex> входят времена <tex> t_1 \ldots t_j, </tex> где <tex> j < n</tex> и из всех возможных оптимальных расписаний мы возьмем то, у которого <tex>j</tex> будет максимально.
Из того, как в алгоритме выбирались значения для <tex>t_i</tex> следует, что <tex>t_{j + 1}</tex> {{---}} минимальное возможное время, большее <tex>t_j,</tex>, в которое можно начать выполнять какое-нибудь из оставшихся заданий. Если во время <tex>t_{j+1}</tex> в расписании <tex>S</tex> не выполняется никакого задания, то какое-то задание, которое могло бы выполнится в момент времени <tex>t_{j+1}</tex> выполняется в <tex>S</tex> позднее. Значит оно может быть перемещено в нашем расписании <tex>S</tex> на время <tex>t_{j+1}</tex> без увеличения целевой функции. Таким образом, наше новое расписание тоже будет оптимальным. Получили противоречие с максимальностью <tex>j</tex>. Значит из всех оптимальных расписаний нам подходят только те, в которых <tex>j = n</tex>.
}}
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 73 - 78
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]
