Изменения

<tex dpi = "140">I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \epsilonvarepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>

<tex>\triangleright</tex> Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\epsilonvarepsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex> и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.<tex>I-1-\sum\limits_{k=0,k\neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k\neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}</tex>. Разделим на <tex>\Delta_{k_0}</tex>: <tex>\left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>. Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.