142
правки
Изменения
Нет описания правки
Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)</tex>. Это значит, что <tex>f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex> и <tex>\forall n: g(n) \neq \bot </tex>.
По определению универсальной функции <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>. Тогда <tex>g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>U(i, i) \neq \bot</tex>. Значит, определено значение <tex>f(i)</tex> и <tex>g(i) = f(i) = U(i, i) + 1</tex>. Получили противоречие.
Таким образом, построенная функция <tex>f(n)</tex> не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.
{{Теорема
|statement=
Существуют такие перечислимые множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex>, что <tex>X' \cap Y' = \o</tex> и не существует таких разрешимых множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, что <tex>X' \in X</tex>, <tex>Y' \in Y</tex>, <tex>X \cap Y = \o</tex>, <tex>X \cup Y = \mathbb{N}</tex>. Такие множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex> называют '''неотделимыми'''.
|proof=
Рассмотрим множества <tex>X' = \{n \mid f(n) = 0\}</tex> и <tex>Y' = \{n \mid f(n) = 1\}</tex>, где <tex>f(n)</tex> - функция из леммы 2. Пусть существуют <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, удовлетворяющие указанным свойствам. Тогда вычислима характеристическая функция множества <tex>Y</tex>, то есть функция <tex>g(n) = \begin{cases} 1 & n \in Y \\ 0 & n \notin Y (n \in X)\end{cases}</tex> Заметим, что <tex>g(n)</tex> всюду определена и является продолжением <tex>f(n)</tex>, что противоречит лемме 2.
}}
