Изменения

То есть имеем, что <tex> p_{i1} < \min(p_{j1}, p_{i2}) </tex>. Так как <tex> p_{i1} < \min(p_{j1}, p_{i2}) \leq leqslant p_{i2} </tex>, то работа <tex> i \in L </tex>. Работа <tex> j </tex> либо стоит в <tex> R </tex>, либо она стоит в <tex> L </tex> и при этом <tex> p_{i1} < p_{j1} </tex>. Заметим, что в обоих случаях она расположена позже (в силу нашего построения), чем работа <tex> i </tex>, то лемма доказана.

|statement= Пусть имеем произвольное расписание, в котором работа <tex> j </tex> идет сразу же после работы <tex> i </tex>. Тогда если <tex> \min(p_{j1}, p_{i2}) \leq leqslant \min(p_{i1}, p_{j2}) </tex>, то можем поменять местами эти работы без ухудшения целевой функции.

Так как <tex> \min(a, b) = - \max(-a, -b)</tex>, то из условия леммы имеем <tex> \max(-p_{i1}, -p_{j2}) \leq leqslant \max(-p_{j1}, -p_{i2}) </tex>, то добавим <tex> p_{i1} + p_{i2} + p_{j1} + p_{j2} </tex> к обеим частям. То получим, что <tex> p_{j1} + \max(p_{i1}, p_{j2}) + p_{i2} \leq leqslant p_{i1} + \max(p_{j1}, p_{i2}) + p_{j2} </tex>, то есть <tex> w_{ji} \leq leqslant w_{ij} </tex>, то при смене местами работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> ответ не ухудшается.

Рассмотрим произвольную перестановку <tex> S </tex>. Пусть перестановки <tex> T </tex> и <tex> S </tex> имеют общий префикс длины <tex> l-1 </tex>. Пусть <tex> i = T_{l} </tex> и <tex> j = S_{l} </tex>. Рассмотрим множество работ <tex>M = \{T_{r} \mid r = l, \dots, n\}</tex>. Заметим, что для любой работы <tex> k \in M </tex> верно, что <tex> \min(p_{k1}, p_{i2}) \geq geqslant \min(p_{i1}, p_{k2}) </tex>, так как если было бы верно обратное, то есть <tex> \min(p_{k1}, p_{i2}) < \min(p_{i1}, p_{k2}) </tex>, то по лемме 1 было бы верно, что <tex> k </tex> идет раньше <tex> i </tex>, что неверно.

Очевидно, что в перестановке <tex> S </tex> работа <tex> i </tex> будет стоять после <tex> j </tex> (иначе общий префикс был бы длиннее), то заметим, что в этой перестановке для работы <tex> i </tex> и для предыдущей работы <tex> w </tex> верно <tex> \min(p_{w1}, p_{i2}) \geq geqslant \min(p_{i1}, p_{w2}) </tex> (так как <tex> w \in M </tex>), то по лемме 2 можем поменять местами работы <tex> i </tex> и <tex> w </tex> без ухудшения ответа. То такими операциями сможем дойти до пары работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex>, которые при смене увеличат общий префикс перестановок <tex> S </tex> и <tex> T </tex>.