Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition=Множество <tex>X</tex> называется перечислимым, если выполняется хотя бы 1 …»
{{Определение
|definition=Множество <tex>X</tex> называется перечислимым, если выполняется хотя бы 1 условие из приведенных ниже:
# Существует программа(алгоритм) печатающая(перечисляющая) все элементы <tex>X</tex> в произвольном порядке
# <tex>X</tex> является областью определения вычиcлимой функции <tex>f</tex>
# <tex>X</tex> является областью значений вычиcлимой функции <tex>f</tex>
# Функция <tex>p_X(i) = \begin{cases}
0 & i \in X \\
\bot & i \notin X
\end{cases}</tex> - вычислима
}}
{{Теорема
|statement=
Определения ''1'', ''2'', ''3'', ''4'' эквивалентны.
|proof=
*1 <tex>\Rightarrow</tex> 4
Пусть <tex>A</tex> - программа перечисляющая <tex>X</tex>.
Приведем программу <tex>B</tex>, вычисляющую <tex>p_X(i):</tex>
<tex>B(i)</tex>
for (n = 1 ... <tex>+\infty</tex>)
if (A(n) == i)
return 0
*2 <tex>\Rightarrow</tex> 1, 3 <tex>\Rightarrow</tex> 1
Пусть <tex>X</tex> область определения вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>B</tex>.
Введем обозначение: <tex>B(i)|_{TL}</tex> <tex>-</tex> запустить <tex>B(i)</tex> на <tex>TL</tex> секунд. Если <tex>B(i)|_{TL}</tex> за <tex>TL</tex> секунд так и не вернула значение функции <tex>f(i)</tex>, то возвращаем -1.
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой <tex>A:</tex>
<tex>A()</tex>
for (<tex>TL</tex> = 1 ... <tex>+\infty</tex>)
for (n = 1 ... <tex>TL</tex>)
if (<tex>B(n)|_{TL}</tex> != -1)
print(n)
Если print(n) заменить на print(<tex>B(n)|_{TL}</tex>), то <tex>A()</tex> станет перечислять область значений <tex>f</tex>.
*4 <tex>\Rightarrow</tex> 2, 4 <tex>\Rightarrow</tex> 3
Пусть дана <tex>p_X(i).</tex>
Введем новую функцию: <tex>l(n) = n,</tex> если <tex>p_X(n).</tex>
Очевидно, она вычислима, и ее область определения и область значений совпадают с <tex>X.</tex>
ч.т.д.
}}
|definition=Множество <tex>X</tex> называется перечислимым, если выполняется хотя бы 1 условие из приведенных ниже:
# Существует программа(алгоритм) печатающая(перечисляющая) все элементы <tex>X</tex> в произвольном порядке
# <tex>X</tex> является областью определения вычиcлимой функции <tex>f</tex>
# <tex>X</tex> является областью значений вычиcлимой функции <tex>f</tex>
# Функция <tex>p_X(i) = \begin{cases}
0 & i \in X \\
\bot & i \notin X
\end{cases}</tex> - вычислима
}}
{{Теорема
|statement=
Определения ''1'', ''2'', ''3'', ''4'' эквивалентны.
|proof=
*1 <tex>\Rightarrow</tex> 4
Пусть <tex>A</tex> - программа перечисляющая <tex>X</tex>.
Приведем программу <tex>B</tex>, вычисляющую <tex>p_X(i):</tex>
<tex>B(i)</tex>
for (n = 1 ... <tex>+\infty</tex>)
if (A(n) == i)
return 0
*2 <tex>\Rightarrow</tex> 1, 3 <tex>\Rightarrow</tex> 1
Пусть <tex>X</tex> область определения вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>B</tex>.
Введем обозначение: <tex>B(i)|_{TL}</tex> <tex>-</tex> запустить <tex>B(i)</tex> на <tex>TL</tex> секунд. Если <tex>B(i)|_{TL}</tex> за <tex>TL</tex> секунд так и не вернула значение функции <tex>f(i)</tex>, то возвращаем -1.
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой <tex>A:</tex>
<tex>A()</tex>
for (<tex>TL</tex> = 1 ... <tex>+\infty</tex>)
for (n = 1 ... <tex>TL</tex>)
if (<tex>B(n)|_{TL}</tex> != -1)
print(n)
Если print(n) заменить на print(<tex>B(n)|_{TL}</tex>), то <tex>A()</tex> станет перечислять область значений <tex>f</tex>.
*4 <tex>\Rightarrow</tex> 2, 4 <tex>\Rightarrow</tex> 3
Пусть дана <tex>p_X(i).</tex>
Введем новую функцию: <tex>l(n) = n,</tex> если <tex>p_X(n).</tex>
Очевидно, она вычислима, и ее область определения и область значений совпадают с <tex>X.</tex>
ч.т.д.
}}
