17
правок
Изменения
Изменения в "см. также"
{{В разработке}}Определение|definition='''Последовательность''' — (англ. ''sequence'') {{---}} это набор элементов некоторого множества пронумерованный натуральными числами. Последовательность является результатом последовательного выбора элементов множества. При этом элементы последовательности могут повторяться. В частности, последовательность не является подмножеством заданного множества.}}
== Определения Виды последовательностей =={{Определение|definition = Последовательность <tex>\{x_n\}</tex> элементов множества <tex>X</tex> называется '''''неубывающей''''' (англ. ''nondecreasing''), если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним. <tex>\{x_n\}</tex> — '''''неубывающая''''' <tex>\Leftrightarrow\forall n \in \mathbb N: x_n \leqslant x_{n+1}</tex>.}}
{{Определение|definition = Последовательность <tex>\{x_n\}</tex> элементов множества <tex>X</tex> называется '''''неубывающейневозрастающей'''''(англ. ''nonincreasing''), если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит следующего за нимпредыдущего.<tex>\{x_n\}</tex> — '''''невозрастающая''''' <tex>\Leftrightarrow\forall n \in \mathbb N: x_n \geqslant x_{n+1}</tex>.}}
{{Определение|definition = Последовательность <tex>\{x_n\}</tex> элементов множества <tex>X</tex> называется '''''возрастающей''''' (англ. ''increasing''), если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. <tex>\{x_n\}</tex> — '''''неубывающаявозрастающая''''' <tex>\Leftrightarrow\forall n \in \mathbb N: x_n \leqslant < x_{n+1}</tex>.}}
{{Определение
|definition =
Последовательность <tex>\{x_n\}</tex> элементов множества <tex>X</tex> называется '''''убывающей''''' (англ. ''decreasing''), если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним. <tex>\{x_n\}</tex> — '''''убывающая''''' <tex>\Leftrightarrow\forall n \in \mathbb N: x_n > x_{n+1}</tex>.
}}
{{Определение|definition = Последовательность <tex>\{x_n\}</tex> элементов множества <tex>X</tex> называется '''монотонной''невозрастающей'(англ. ''monotonic''), если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущегоона является неубывающей, либо невозрастающей.}}
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
|proof=Рассмотрим два массива длины <tex>\n : S </tex> и <tex> T </tex>, где <tex> S_i </tex> {x_n\{---}} длина НВП, которая заканчивается на <tex>a_i</tex> — '''''убывающая''''' , <tex>\Leftrightarrow\forall n \in \mathbb N: x_n T_i </tex> x_{n+1{---}}длина НУП, которая начинается на <tex>a_i</tex>.
Докажем, что все пары <tex>(S_i, T_i)</tex> различны.
Пусть существуют такие <tex>i < j</tex> , что <tex> S_i </tex> = <tex> S_j </tex> и <tex> T_i </tex> = <tex> T_j</tex>. Если <tex>a_i < a_j</tex>, тогда <tex> a_j </tex> можно добавить к НВП, заканчивающейся на <tex> a_i </tex>, следовательно <tex>S_j \geqslant S_i + 1</tex>. Если <tex>a_i > a_j</tex>, то по аналогии <tex>T_i \geqslant T_j + 1</tex>. Противоречие! Следовательно все такие пары различны.
== Теорема о связи длины НВП и НУП См. также==* [[Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения]]* [[Теорема Кэли]]* [[Матричное представление перестановок]]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence Wikipedia {{---}} Longest increasing subsequence]