Изменения

# <tex>x \in A</tex>. <tex>A </tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>, если <tex>\exists V: x \in V \subset A </tex><tex>O(x) </tex> {{--- }} окрестность точки <tex>x</tex>. <tex> V_r(x) = O(x)</tex>(в частности).

Числовая прямая {{- --}} окрестность любого числа.

<tex>A, b \in X</tex>. <tex>b </tex> является предельной точкой для <tex>A</tex>, если в любой <tex>O(b) </tex> находится бесконечное число точек, принадлежащих <tex>A</tex>.

: <tex> \mathbb R, A = (0; 1); \ 0 \notin A</tex>, <tex>0 </tex> {{---}} предельная точка(как и <tex>1</tex>, например).

Пусть <tex> A \subset X, \ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A, (X, \rho), (Y, \bar \rho)</tex>.

Так как <tex>a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного числа <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то <tex>f(a) </tex> нас не интересует.

Например: <wikitextex>Например: $\mathbb R : f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a$ </tex> {{---}} предельная точка.:$<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon $</tex>:{{TODO|t=что-то обрезано вначале}} $<tex>a \in A, \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$</tex>, тогда $<tex>f$ </tex> непрерывна в точке $<tex>a$</tex>.

Если $<tex>f$ </tex> имеет предел, то в ситуации общих МП:

$ <tex> A \subset X, \ B \subset Y, Z</tex>. \; <tex>X, Y, Z $ </tex> {{---}} МП, у каждого своя метрика. <tex>a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, $ <tex>b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$</tex>, тогда <tex>b </tex> предельная у {{TODO|t=WTF?? }} при этом::$<tex>g: B \rightarrow Z. \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) $</tex>:$<tex>Z = g(f(x))$</tex>:$<tex>f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A$</tex>:$<tex>g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): $</tex>:$<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 $</tex>:$<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 $</tex>, а тогда $<tex>y = f(x) $</tex>:$<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d $</tex>( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) $<tex>\Rightarrow$ </tex> сложная фукнция от двух непрерывных {{- --}} непрерывна.