1632
правки
Изменения
м
Для <tex>x \in [0; 1] \quad x(1-x) \le \frac 14</tex>. Учитывая то, что <tex>\omega(t)</tex> возрастает, окончательно получаем:
ЧебышевскаяЧебышёвская(равномерная) норма функции <tex>\| f \| = \max\limits_{[a; b]} |f(x)|</tex>
rollbackEdits.php mass rollback
|proof=
Рассмотрим функцию функцию <tex>f(x)</tex>, непрерывную на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Определим полиномы:
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
Вернемся к свертыванию суммы:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} =</tex>(раскрывая квадрат и подставляя <tex>p</tex> и <tex>q</tex>)<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex>
Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что <tex>k^2 = k(k-1) + k</tex>.
:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.
{{Лемма
|statement=<tex>|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})</tex>
{{Теорема
|id=
weirstrasscont
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex>
|proof=
Теорема Вейерштрасса напрямую следует из теоремы Бернштейна. Отрезок <tex>[0; 1]</tex> можно перевести в отрезок <tex>[a; b]</tex>
Так как <tex dpi=130>t = \frac{x - a}{b - a}</tex>, то, подставляя это, получаем <tex dpi=130>|f(x) - B_n(g, \frac{x - a}{a - b})| \leq \varepsilon</tex>. Значит, можно взять <tex dpi=130>P(x) = B_n(g, \frac{x - a}{b - a})</tex>.
}}
== Равномерная сходимость ==
Всё это переводится на язык равномерной сходимости или, так называемой, Чебышевской Чебышёвской метрики.
{{Определение
{{Определение
|definition=
}}
Эта величина удовлетворяет трем законам:
* <tex>\| f \| \leq ge 0</tex> и <tex>\| f \| = 0 \iff f = 0</tex>* <tex>\| \alpha f \| = |\alpha | \| f \|</tex>* <tex>\| f + g \| \leq le \| f \| + \| g \|</tex>
{{Определение
С этой точки зрения, теорема Вейерштрасса означает следующее. Обозначим за <tex>\mathcal{P}</tex> множество всех полиномов.
Тогда <tex>\mathcal{P}</tex> {{---}} линейное множество в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>.
По теореме Вейерштрасса получаем <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall f \in \mathcal{C}[a; b]\ \exists T \in \mathcal{P}: \ \| f - T \| < \varepsilon</tex>. Поэтому, по аналогии с рациональными числами, говорят, что <tex>\mathcal{P}</tex> ''всюдуплотновсюду плотно'' расположено в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
