Изменения

__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}

<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex>

|statement=Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функциюформулу, заданную в форме Крома , можно удовлетворить (т.е КНФ в форме Крома не является тождественно равной <tex>0</tex>).}}{{main|proof=Данный алгоритм подробно описан в статье о выполнимости булевых формул, заданных в форме Крома: [[2SAT]].}} 

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>

== КНФ в форме Хорна ==

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}

<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex>

Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

Любую формулу можно представить в виде КНФ {{Утверждение|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна, можно удовлетворить. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта Хорна|proof= Далее будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения.

{{Утверждение|statement=В данном утверждении будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения. Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна можно удовлетворить.|proof=*'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных.''' Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex> такой переменной является <tex>x</tex>. Если такие *# Присутствуют одиночно стоящие переменные существуют, то им надо присвоить .*#:Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex>, если переменная входит с отрицаниеминаче, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует <tex>(O(n))</tex>, где <tex> n </tex> - длина формулы.* Если # Отсутствуют одиночно стоящих переменных в данном выражении нет, то всем стоящие переменные. *#:Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. Сделав так для каждой скобки, В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge ... \ldots \wedge 1</tex>, что в конечном итоге результате даст нам <tex> 1</tex> . В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно. *'''Шаг 2.''' Идем по скобкам *:Опустим одиночно стоящие переменные и выписываем все встречающиеся нам переменныескобки, кроме тех, с которыми мы работали на предыдущем шаге. Если переменная входит всегда без отрицаний, то присваиваем ей в которых значение стало равным <tex>1</tex> и . Перейдём к <tex>01</tex>шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную, если всегда входит с отрицаниями не больше <tex>(O(n))1</tex>переменной без отрицания. На данном шаге никакая скобка не может обратиться в Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, т.е. при подстановке <tex>0</tex>. *'''Шаг 3.''' На данном шаге остались переменныестанет равна <tex>1</tex>, входящие либо мы рассмотрим переменную без отрицания как с отрицаниями, так и без нихотдельно стоящую переменную. Рассмотрим скобки, в которых значение всех переменных или их отрицаний уже равны Значит <tex> 0 1</tex> (это возможно только в случае, когда в скобке присутствуют одиночно стоящие переменные из первого шагашаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, или их отрицания). Если рассматриваемая переменная входит без отрицанияначиная сначала, то присвоим ей значение пока <tex> 1</tex>, иначе, присвоим ей шаг не найдёт ответ. Обозначим за <tex> 0 N</tex> число вхождений переменных в формулу.Итерация состоит из шагов, каждый из которых выполняется за <tex> (O(n)N) </tex>. Если после этого какая-либо скобка обратилось в Всего итераций будет не больше <tex> 0 N</tex>, так как если первый шаг не завершил алгоритм, то решения нетуменьшил размер формулы на одно вхождение. Итого, иначе формула разрешимаасимптотика алгоритма составляет <tex>O(N^2)</tex>.

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]