Изменения
→КНФ в форме Хорна
__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.
== КНФ в форме Крома ==
{{Определение
|definition=
'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}
'''Пример :'''
<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex> === Разрешимость булевой формулы, заданой в форме Крома ===
{{Утверждение
|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что формулу, заданную в форме Крома, можно удовлетворить.}}
{{main|2SAT}}
{{Утверждение
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>
}}
== КНФ в форме Хорна ==
{{Определение
|definition=
'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}
'''Пример:'''
<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex>
Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>. Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Хорна. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта Хорна.
{{Утверждение
|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна , можно удовлетворить.
|proof= Далее будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения.
*'''Шаг 12. Одиночное вхождение переменных''' Найдем в данной формуле *:Опустим одиночно стоящие переменные. Напримери скобки, для формулы в которых значение стало равным <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex> такой переменной является <tex>x1</tex>. Присвоим всем таким переменным значение Перейдём к <tex> 1 </tex>шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначегде мы опустили переменную, так как в конъюнкции они должны дать не больше <tex>1</tex>переменной без отрицания. Заметим, что если Либо какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует. Если одиночно стоящих из переменных в данном выражении нетвнутри скобки будет иметь отрицание, то всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешитсят.е. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение при подстановке <tex>0</tex> мы получим станет равна <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции, либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. В итоге мы получим выражение вида: Значит <tex>1\wedge 1 \wedge ... \wedge 1</tex>шаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, что в результате даст нам начиная сначала, пока <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять шаг не нужнонайдёт ответ.
}}
{{Утверждение
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>
}}
* [[СКНФ]]
* [[2SAT]]
* [[ДНФ]]
==Примечания==
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции ]]