3622
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Докажем, что двоичное дерево с не менее чем <tex>n!</tex> листьями имеет глубину <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Легко показать, что двоичное дерево высоты <tex>h</tex> имеет не более чем <tex>2^h</tex> листьев. Значит, имеем неравенство <tex>n! \leqslant l \leqslant 2^h</tex>, где <tex>l</tex> {{---}} количество листьев. Прологарифмировав его, получим:
<tex> h \geqslant \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex> <tex> \dfrac{n}{2} \log_2 \left(\dfrac{n}{2}\right) = \dfrac{n}{2}(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)</tex>
Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями, существует такая перестановка, на которой он выполнит <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений.
