1632
правки
Изменения
м
''Необходимость.'' <tex>\Leftarrow</tex><br/>:Очевидно, так как недостижимые и непорождающие нетерминалы являются бесполезными.
''Достаточность.'' <tex>\Rightarrow</tex><br/>:Рассмотрим любой нетерминал <tex>A</tex>. Так как он достижим, существуют <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> такие, что <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta</tex>. Из того, что любой нетерминал является порождающим, следует, что из любой строки можно вывести строку из терминалов. Значит, существует <tex>\omega \in \Sigma ^ *</tex>: <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta \Rightarrow ^* \omega</tex>, и <tex>A</tex> {{---}} не бесполезный.
Докажем{{Теорема|id=th1|statement=После удаления из грамматики правил, содержащих недостижимые нетерминалы, что после выполнения второго шага не могут появиться появятся новые непорождающие нетерминалы.|proof=
rollbackEdits.php mass rollback
== Порождающие и непорождающие нетерминалы ==
===Описание===
{{Определение
|definition=
[[Формальные_грамматики|Нетерминал ]] <tex>A</tex> называется '''порождающим''' (англ. ''generating''), если из него может быть выведена конечная терминальная цепочка. Иначе он называется '''непорождающим'''.
}}
Очевидно, что если и только если все нетерминалы правой части правила являются порождающими, то порождающим является и нетерминал, стоящий в его левой части. Это позволяет обнаружить непорождающие нетерминалы с помощью следующей процедуры.# Найти правила, не содержащие нетерминалов в правых частях. Составить множество нетерминалов, встречающихся в левых частях таких правил.# Если найдено такое правило, что все нетерминалы, стоящие в его правой части, уже входят в множество, то добавить в множество нетерминалы, стоящие в его левой части.# Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.# Получено множество всех порождающих нетерминалов грамматики, а все нетерминалы, не попавшие в него, являются непорождающими.
{{Лемма
|statement=
Непорождающие нетерминалы по определению не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
}}
===Алгоритм===
'''Шаг 0'''. Множество порождающих нетерминалов пустое.<br>
'''Шаг 1'''. Находим правила, не содержащие нетерминалов в правых частях и добавляем нетерминалы, встречающихся в левых частях таких правил, в множество.<br>
'''Шаг 2'''. Если найдено такое правило, что все нетерминалы, стоящие в его правой части, уже входят в множество, то добавим в множество нетерминалы, стоящие в его левой части. <br>
'''Шаг 3'''. Повторим предыдущий шаг, если множество порождающих нетерминалов изменилось.<br>
В результате получаем множество всех порождающих нетерминалов грамматики, а все нетерминалы, не попавшие в него, являются непорождающими.
=== Время работы алгоритма ===
Данный алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>, однако где <tex>\left| \Gamma \right|</tex> {{---}} размер грамматики. Однако используя [[Очередь|очередь]] можно ускорить его до <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>. ===Модификация алгоритма с очередью===Для реализации алгоритма поиска непорождающих нетерминалов будем использовать следующие структуры:*<tex>\mathrm{isGenerating[nonterm_i]}</tex> {{---}} является ли нетерминал <tex>\mathrm{nonterm_i}</tex> порождающим или нет,*<tex>\mathrm{counter[rule_i]}</tex> {{---}} счетчик количества нетерминалов, которые ещё не помечены порождающими, для каждого из правил,*<tex>\mathrm{concernedRules[nonterm_i]}</tex> {{---}} для каждого нетерминала <tex>\mathrm{nonterm_i}</tex> список номеров правил, в правой части которых он встречается,*<tex>\mathrm{Q}</tex> {{---}} очередь нетерминалов, помеченных порождающими, но ещё не обработанных. Вначале для всех нетерминалов в <tex>\mathrm{isGenerating}</tex> поставим <tex>false</tex>. В <tex>\mathrm{counter}</tex> поставим количество нетерминалов в правой части. Нетерминалы, у которых счётчик <tex>\mathrm{counter}</tex> нулевой, добавим в очередь и отметим их порождающими.<br>Пока в очереди есть элементы, достаём очередной нетерминал и уменьшаем <tex>\mathrm{counter}</tex> для всех правил из <tex>\mathrm{concernedRules}</tex> для данного нетерминала. Если счётчик количества порождающих терминалов обнулился, то добавим нетерминал, стоящий в левой части данного правила в очередь и пометим его порождающим.<br>Каждый из нетерминалов попадёт в очередь только один раз, следовательно мы пройдем по списку правил, в правой части которых он встречается, один раз. Таким образом, суммарно получаем <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.
=== Пример ===
Рассмотрим следующую грамматику: <br>
:<tex>
S\rightarrow Ac\\
A\rightarrow SD\\
A\rightarrow a
</tex>
Применяя описанный алгоритм:
# Изначально множество порождающих нетерминалов состоит из одного элемента <tex>A</tex>.
# Добавим в множество нетерминал <tex>S</tex>, так как существует правило <tex>S\rightarrow Ac</tex>, в правой части которого стоят нетерминал <tex>A</tex>, который есть в множестве, и терминал <tex>c</tex>.
# После следующего обхода правил из грамматики множество не изменится.
# Теперь удалим правила <tex>A\rightarrow SD</tex> и <tex>D\rightarrow aD</tex>, так как они содержит содержат нетерминалы, которых нет в полученном множестве.
== Достижимые и недостижимые нетерминалы ==
===Описание===
{{Определение
|definition=
Нетерминал <tex>A</tex> называется '''достижимым''' (англ. ''reachable'') в [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|КС-грамматике ]] <tex>\Gamma</tex>, если существует порождение <tex>S \Rightarrow^* \alpha A \beta</tex>. Иначе он называется '''недостижимым''' (англ. ''unreachable'').
}}
Очевидно, что если нетерминал в левой части правила является достижимым, то и все нетерминалы правой части являются достижимыми. Найти недостижимые нетерминалы можно с помощью следующей процедуры.# Возьмём множество, состоящее из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.# Если найдено правило, в левой части которого стоит нетерминал, содержащийся в множестве, добавить в множество все нетерминалы из правой части.# Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.# Получено множество всех достижимых нетерминалов, а нетерминалы, не попавшие в него, являются недостижимыми.
{{Лемма
|statement=
Недостижимые нетерминалы по определению не достижимы из стартового, следовательно они не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
}}
===Алгоритм===
'''Шаг 0.''' Множество достижимых нетерминалов состоит из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.<br>
'''Шаг 1.''' Если найдено правило, в левой части которого стоит нетерминал, содержащийся в множестве, добавим в множество все нетерминалы из правой части.<br>
'''Шаг 2.''' Повторим предыдущий шаг, если множество порождающих нетерминалов изменилось.<br>
Получаем множество всех достижимых нетерминалов, а нетерминалы, не попавшие в него, являются недостижимыми.
=== Время работы алгоритма ===
Рассмотрим следующую грамматику:<br>
:<tex>
S\rightarrow AB|CD\\
A\rightarrow EF\\
C\rightarrow c
</tex>
Применяя описанный алгоритм:
# Возьмём множество, состоящее из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.
# Из <tex>S</tex> достижимы нетерминалы <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>D</tex>. Добавим их в множество и получим <tex>\lbrace S, A, B, C, D \rbrace</tex>.
# Множество изменилось. Переберём заново правила из грамматики. Из <tex>A</tex> можно вывести <tex>E</tex> и <tex>F</tex>, добавим их в множество.
# Снова переберём правила. Из <tex>C</tex> можно вывести только терминал, а <tex>G</tex> нету нет в множестве.
# После последнего обхода правил грамматики множество не изменилось, значит мы нашли все достижимые нетерминалы: <tex>\lbrace S, A, B, C, D, E, F \rbrace</tex>.
# Теперь удалим правило <tex>G\rightarrow AD</tex>, так как оно содержит в левой части нетерминал, которого нет в полученном множестве.
== Полезные и бесполезные нетерминалы ==
===Описание===
{{Определение
|definition=
Грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит бесполезных нетерминалов тогда и только тогда, когда грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит ни недостижимых нетерминалов, ни непорождающих.
|proof=
}}
=== Алгоритм удаления бесполезных нетерминалов ===Алгоритм состоит из двух этапов:
# Удалить из грамматики правила, содержащие непорождающие нетерминалы.
# Удалить из грамматики правила, содержащие недостижимые нетерминалы.
Достаточность данных действий следует из доказанной выше теоремы.
Допустим, что в грамматике появился непорождающий нетерминал <tex>A</tex>. Так как до удаления недостижимых нетерминалов существовал вывод из <tex>A</tex> некоторой конечной цепочки терминалов <tex>\omega</tex>, то было удалено хотя бы какое-то одно правило из этого вывода.
Пусть <tex>B\rightarrow\alpha</tex> {{---}} правило, первым из удалённых применяемое в выводе <tex>A \Rightarrow ^* \omega</tex>. Оно могло быть удалено только в том случае, если в <tex>\alpha</tex> присутствуют недостижимые нетерминалы. Но так как было выбрано первое удалённое правило из вывода, то <tex>B</tex> — достижим, следовательно достижимы и все нетерминалы из <tex>\alpha</tex>. Значит, это правило не могло быть удалено.
}}
=== Пример ===
1. Пусть нам дана грамматика: <br>
:<tex>
S\rightarrow AS|BS|s \\
E\rightarrow EF|FF \\
F\rightarrow f
</tex><br>
2. Удалим правила, содержащие непорождающие нетерминалы: <br>
:<tex>
S\rightarrow AS|s \\
E\rightarrow EF|FF \\
F\rightarrow f
</tex><br>
3. Теперь удалим недостижимые нетерминалы:<br>
:<tex>
S\rightarrow AS|s \\
A\rightarrow a
Рассмотрим следующую грамматику: <br>
:<tex>
S\rightarrow AB|a \\
A\rightarrow b
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]
