Изменения

<li> <tex>\mathrm{Z}</tex>{{---}} ноль. </li>

<li> <tex>\mathrm{N}</tex>{{---}} инкремент. </li>

<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex>, где <tex>x' = x + 1</tex>.

<li> Проекция<tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li>

<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... \ldots, x_n) = x_i</tex>

<li> Подстановка<tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1,...\ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...\ldots, x_m), ... \ldots \mathrm{g_n}(x_1,...\ldots, x_m))</tex>

<li> Примитивная <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...\ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n) & , y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...\ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...\ldots, x_n,y-1)) &, y > 0

<li> Минимизация<tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...\ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.

Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной'''(англ. ''recursive'').

'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> \mathrm{I}(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_{n,k---}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \leqslant n 5</tex>.

Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.{{Определение|definition='''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.}}

*В дальнейшем вместо правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{P_F}(x,y) =\mathrm{n,kf}(\mathrm{g}(x_1y),\ldotsmathrm{h}(x,x_kx,y)) </tex> будем писать просто эквивалентна <tex> x_k \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, подразумевая требуемое нам но если <tex> n \mathrm{F} </tex>не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.

==== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ====

===== ''' n '''-местный ноль =====

Выразим сначала <tex> \textbf 0^{1 }(y) = \mathrm{Z}(y) </tex> <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex> Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0</tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>. ====Константа <tex> \textbf M </tex>==== <tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex> <tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. ==== Сложение ====<tex> \mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex>, где

<tex> \textbf 0^mathrm{1f}(0x) = \textbf 0 x </tex>

<tex> \textbf 0^{1}(y+1) = \mathrm{hg}(x, y,\textbf 0^{1}(yz)) </tex>, где <tex> = \mathrm{hN}(x,yz) = y </tex>

<tex> \textbf 0^mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{ng}\rangle (x_1x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \ldotsmathrm{g}(x,x_{ny-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},0) = \textbf 0^mathrm{ng}\rangle(x, y-1)) & y > 0\end{array} \right.</tex>

<tex> =\left\{\textbf 0^begin{narray}(x_1,\ldots,x_{n-1ll}, x & y+1) = 0\\ \mathrm{hN}(x_1,\ldots,x_mathrm{R} \langle{}\mathrm{n-1f},\textbf 0^mathrm{ng}\rangle(x, y-1)) </tex>, где <tex& y > 0 \mathrmend{harray}(x_1,\ldots, x_n,y) = y right.</tex>

Константа <tex> =\textbf M </tex> равна <tex> left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{IN}(\textbfmathrm{Msum}(x, y-1)) & y > 0 \end{array}) \right. </tex>

<tex> \textbf M^n </tex> - <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образомМожно преобразовать в более простой вид.

<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{hN}(x,y,\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) </tex>

===== Умножения =====<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1mathrm{Z}(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{hsum}(x,y,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) </tex>

===== Вычитания =====Если <tex> x < \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y) = x </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{hsub_1}(x,y,\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) </tex>

===== Операции сравнения =====

<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{IN}(0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{IN}(x),y)) </tex>

===== IF =Условный оператор ====

<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(c,x,y,d) = x </tex>

===== Деление ===== <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением значение функции равны каким то ,нас не интересными для насинтересует, числамии можно определить её как угодно.

<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>

<tex> \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{IN}(x),z),y-1),\mathrm{Idivmax}(x-1,y)),zy) </tex>,  или не формально если <tex> x+1 - y = z </tex> то <tex> \mathrm{hN}(x,y,z-1) = x+1 </tex>, иначе <tex> \mathrm{hdivmax}(x-1,y,z) = z )</tex>

<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>

<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{IN}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{IN}(x),y))) </tex> или не формально если <tex> x+1~\vdots~y </tex>, то <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = z+1 </tex>, иначе <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = z </tex>

===== Работа со списками фиксированной длины =====С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - ого простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i </tex> {{- --}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того

==Теоремы===== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ====

*<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

*<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.

*<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния.

*<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты.