23
правки
Изменения
→Локальный критерий Делоне
|id=krit_dol2
|statement=Глобальный и локальный критерии Делоне для ребра равносильны.
|proof=[[Файл:dol2.png|right]]Из глобального в локальный очевидно, докажем обратно.
Предположим противное, то есть найдётся такая плоскость, что вершины треугольников при ребре <tex>AB</tex> лежат под ней, но существует какая-то вершина <tex>F</tex> над ней. Проведём окружность с центром в сфере через <tex>AB</tex> и выберем треугольник лежащий в одной полусфере с точкой <tex>F</tex>, назовём его <tex>ABC</tex>. Точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABC</tex> => <tex>F</tex> лежит внутри окружности около <tex>ABC</tex>. Возьмем треугольника при ребре, в чьем сегменте оказалась точка <tex>F</tex> и назовем его <tex>ABC</tex>. Если не существует смежный с ним треугольник при вершине <tex>F</tex>, то повторим итерацию, иначе противоречие с локальным критерием Делоне.
}}
{{Утверждение
|id=krit_dol3
|statement=[[Файл:dol3.png|right]]Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.
|proof=Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.
Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не триангуляция => точек в тетраэдре нет => плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с точками => выполняется глобальный критерий.
