Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Группы графов

1291 байт убрано, 03:37, 7 декабря 2016
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Непустое множество А вместе с заданной на нем бинарной операцией, результат применения которой к элементам <tex>\alpha_1</tex> и <tex>\alpha_2</tex> из <tex>A</tex> обозначается через <tex>\alpha_1\alpha_2</tex> , образует '''группу''' (англ. ''group''), если выполняются следующие четыре аксиомы:
# Аксиома замыкания. <tex>\forall \alpha_1, \alpha_2 \in A </tex>, элемент <tex>\alpha_1\alpha_2 \in A </tex>.
# Аксиома ассоциативности. <tex>\forall \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in A </tex>, справедливо равенство <tex>\alpha_1(\alpha_2\alpha_3) = (\alpha_1\alpha_2)\alpha_3</tex>
# Аксиома тождественности. В множестве <tex>A</tex> существует такой элемент <tex>i</tex>, что <tex>i\alpha = \alpha i = \alpha</tex> для <tex> \forall \alpha \in A </tex>.
# Аксиома обращения. Если выполняется аксиома 3, то для <tex> \forall \alpha \in A \ \exists \alpha^{-1} : \alpha\alpha^{-1} = \alpha^{-1}\alpha = i </tex>.
}}
 
{{Определение
|definition=
==Операции на группах подстановок==
'''===Сумма подстановок''' ===<tex>A + B</tex> {{---}} это группа подстановок, действующая на объединении <tex>X \cup Y</tex> непересекающихся множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> элементы которой записываются в виде <tex>\alpha + \beta</tex> и представляют собой упорядоченные пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex>. Каждый элемент <tex>z</tex>, принадлежащий множеству <tex>X \cup Y</tex> преобразуется подстановкой <tex>\alpha + \beta</tex> по правилу
<tex>
</tex>
'''===Произведение групп''' ===<tex>A \times B </tex> {{---}} это группа подстановок, действующая на множестве <tex>X\times Y</tex>, элементы которой записываются в виде <tex>\alpha\times\beta</tex> и представляют собой упорядоченные пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex>. Элемент <tex>(x,y)</tex> множества <tex>X\times Y</tex> преобразуется подстановкой <tex>\alpha\times\beta</tex> естественным образом:
<tex>(\alpha\times\beta)(x,y)=(\alpha x,\beta y)</tex>
'''===Композиция групп''' ===<tex>A[B]</tex> группы <tex>A</tex> относительно группы <tex>B</tex> также действует на множестве <tex>X\times Y</tex>. Для любой подстановки <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и любой последовательности <tex>(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)</tex>, содержащей <tex>d</tex> (не обязательно различных) подстановок из <tex>B</tex>, существует единственная подстановка из <tex>A[B]</tex>, которая записывается в виде <tex>(\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)</tex>, такая, что для всякой пары <tex>(x_i , y_i)</tex> из <tex>X\times Y</tex> выполняется равенство
<tex>(\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)(x_i , y_j) = (\alpha x_i,\beta_i y_j).</tex>
'''===Степенная группа''' === (обозначается <tex>B^A</tex>) действует на множестве <tex>Y^X</tex> всех функций, отображающих <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>. Будем всегда предполагать, что степенная группа действует на множестве, состоящем более чем из одной функции. Для каждой пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex> существует единственная подстановка из <tex>B^A</tex> (записывается <tex>\beta^\alpha</tex>), которая действует на любую функцию <tex>f</tex> из <tex>Y^X</tex> в соответствии со следующим соотношением, определяющим образ каждого элемента <tex>x\in X</tex> при отображении <tex>\beta^\alpha f</tex>:
<tex>(\beta^\alpha f)(x)=\beta f(\alpha x).</tex>
Ashkroft
36
правок
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/57095»

Навигация