264
правки
Изменения
→Переход из одной системы координат в другую
|about=О замене переменных в <tex>n</tex>-кратном интеграле
|statement= Пусть даны две <tex>n</tex>-мерные
области: <tex>(D)</tex> в пространстве <tex>х_1х_2\dots х_n</tex> и <tex>(A\Delta)</tex> в пространстве <tex> \xi_1\xi_2\dots\xi_n</tex>? , ограниченные каждая одной непрерывной {{---}} гладкойили кусочно-гладкой {{---}} поверхностью. Между ними с помощью формул
<tex>
\begin{cases}
x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots\,xi_n),
\\
x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots\,xi_n),
\\
\dotfill
\\
x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n),
\end{cases}
</tex>
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом
<tex> J =
\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1} \cr\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} \cr\\ \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \cr
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n}
\end{vmatrix}
</tex>
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1,x_2, \dots, х_n</tex>) можетбыть преобразован по формуле:
<tex>\idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)dx_1\dots dx_n =\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))d\xi_1\dots d\xi_n </tex>
|proof=
