36
правок
Изменения
Нет описания правки
Таким образом, группа <tex>C_3 + S_2</tex> содержит <tex>6</tex> подстановок, каждую из которых можно записать в виде суммы подстановок <tex>\alpha \in C_3</tex> и <tex>\beta\in S_2</tex>, как, например, <tex>(123)(ab)=(123)+(ab)</tex>. (степень равна <tex>5</tex>.)
===Произведение групп===
<tex>A \times B </tex> {{---}} это группа подстановок, действующая на множестве <tex>X\times Y</tex>, элементы которой записываются в виде <tex>\alpha\times\beta</tex> и представляют собой упорядоченные пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex>. Элемент <tex>(x,y)</tex> множества <tex>X\times Y</tex> преобразуется подстановкой <tex>\alpha\times\beta</tex> естественным образом:
<tex>(\alpha\times\beta)(x,y)=(\alpha x,\beta y)</tex>
Подстановкой в группе <tex>C_3\times S_2</tex>, которая соответствует подстановке <tex>(123)+(ab)</tex> будет <tex>(1a\ 2b\ 3a\ 1b\ 2a\ 3b)</tex>, где для краткости символ <tex>(1,a)</tex> заменен на <tex>1a</tex>. (Порядок и степень равны <tex>6</tex>.)
===Композиция групп===
<tex>A[B]</tex> группы <tex>A</tex> относительно группы <tex>B</tex> также действует на множестве <tex>X\times Y</tex>. Для любой подстановки <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и любой последовательности <tex>(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)</tex>, содержащей <tex>d</tex> (не обязательно различных) подстановок из <tex>B</tex>, существует единственная подстановка из <tex>A[B]</tex>, которая записывается в виде <tex>(\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)</tex>, такая, что для всякой пары <tex>(x_i , y_i)</tex> из <tex>X\times Y</tex> выполняется равенство
<tex>(\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)(x_i , y_j) = (\alpha x_i,\beta_i y_j).</tex>
Композиция <tex>C_3 [S_2 ] </tex> имеет степень <tex>6</tex> и порядок <tex>24</tex>. Любую подстановку из <tex>C_3 [S_2 ] </tex> можно записать в таком виде, как она действует на множестве <tex>X\times Y</tex>. Вводя опять обозначение <tex>1a</tex> для упорядоченной пары <tex>(1,a)</tex> и используя фэрмулу выше можно представить подстановку <tex>((123);(a)(b),(ab),(a)(b))</tex> в виде <tex>(1a\ 2a\ 3b\ 1b\ 2b\ 3a)</tex>. Заметим, что группа <tex>S_2 [C_3 ] </tex> имеет порядок <tex>18</tex> и поэтому не изоморфна группе <tex>C_3 [S_2 ] </tex>.
===Степенная группа===
(обозначается <tex>B^A</tex>) действует на множестве <tex>Y^X</tex> всех функций, отображающих <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>. Будем всегда предполагать, что степенная группа действует на множестве, состоящем более чем из одной функции. Для каждой пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex> существует единственная подстановка из <tex>B^A</tex> (записывается <tex>\beta^\alpha</tex>), которая действует на любую функцию <tex>f</tex> из <tex>Y^X</tex> в соответствии со следующим соотношением, определяющим образ каждого элемента <tex>x\in X</tex> при отображении <tex>\beta^\alpha f</tex>:
<tex>(\beta^\alpha f)(x)=\beta f(\alpha x).</tex>
Степенная группа <tex>S_{2}^{C_3}</tex> имеет порядок <tex>6</tex> и степень <tex>8</tex>. Применяя формулу выше, видим, что подстановка этой группы, полученная из подстановок <tex>\alpha = (123)</tex> и <tex>\beta = (ab)</tex>, имеет один цикл длины <tex>2</tex> и один цикл длины <tex>6</tex>.
==См. также==
