Изменения

Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро для любого ребра, не из дерева является максимальным на циклепринадлежащего остову, цикл, который образуется образуемый этим ребром при его добавлении в деревок остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.

Теперь докажемДокажем, что остовное дерево <tex>K</tex>, удовлетворяющее условию, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах {{---}} минимально:.

{{Утверждение|statement=Для любого разреза Предположим противное: пусть остовное дерево <tex>\langle S, T \rangleA </tex>, в котором ребро <tex>uv</tex> {{---}} единственное, пересекающее его в <tex>K</tex>, вес этого ребра минимален среди состоит из всех минимальных ребер <tex>G</tex>на циклах, пересекающих этот разрезтогда оно не минимально.

|proof=Рассмотрим Если <tex> A </tex> не минимально, то его можно улучшить, значит есть ребро , которое имеет наименьший вес на цикле и не принадлежит дереву. Следовательно, дерево построено не на минимальных ребрах в циклах {{---}} противоречие. <tex>ab \notin KLeftarrow </tex> Построим минимальное остовное дерево <tex> A </tex>, пересекающее с помощью общего алгоритма построения MST. Докажем, что оно имеет минимальные ребра на каждом цикле. '''function''' Generic MST(<tex> G </tex>): <tex>A = \{ \langle S} </tex> '''while''' <tex> A </tex> не является остовом '''do''' найти безопасное ребро <tex> ( u, T v ) \rangle in E </tex> и путь между вершинами для <tex>aA </tex> и <font color = darkgreen>// нужное ребро находится с помощью [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] </font color = darkgreen> <tex>bA = A \cup \{( u, v )\} </tex> по дереву '''return''' <tex>KA </tex>.По условию теоремыЗаметим, вес что дерево <tex>abA </tex> не меньше веса любого ребра состоит полностью из безопасных ребер, так как на этом путикаждом шаге добавлялось безопасное ребро.При этом Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex>ab(u, v) </tex> пересекает , причем <tex>u \langle in S</tex>, а <tex> v \in T \rangle</tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, поэтому на этом пути найдется то какое-нибудь ребро<tex> (a, пересекающее этот b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез.Но единственное такое ребро в остовном дереве {{---}} это <tex>uv(S, T) </tex>.СледовательноОчевидно, что <tex>w(uvu, v) \le leqslant w(aba, b)</tex>, так как первое {{---}} безопасное ребро.}}Следовательно, любое ребро не принадлежащее <tex> A</tex> не легче ребер принадлежащих <tex> A </tex> на этом цикле.

Рассмотрим рёбра вне остова в любом порядке. Очередное обозначим <tex>e = (u, v)</tex> вне остова в любом порядке. Рассмотрим максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex> внутри остова:*Если его вес совпадает с весом ребра, то при добавлении ребра в остов, мы получим остов с циклом на котором несколько рёбер имеют одинаковый вес, значит мы можем удалить любое из них и остовное дерево будет всё ещё минимальным, это нарушает уникальность дерева. На этом алгоритм завершается и по критерию Тарьяна мы можем сказать, что в графе можно построить несколько остовных деревьев.

Искать максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в дереве мы можем при помощи алгоритма минимального общего предка(LCA), используя [[метод двоичного подъема]].Подвесим дерево за любую вершину, обозначим её за <tex>root</tex>. Построим LCA. Построим массив <tex>Dp</tex>, используя дополнительный массив <tex>up</tex> из LCA. <br><tex>dp[i][j]= \begin{cases}0 & j = 0,\\max(dp[up[i][j - 1]][j - 1], dp[i][j - 1]) & j \: \textgreater \: 0.\end{cases}</tex> <br> Храним максимальный вес ребра на пути <tex>i</tex> и <tex>root</tex>, где <tex>i -</tex> номер вершины, <tex>j -</tex> степень подъёма(как в LCA). При запросе рассмотрим два случая:*Путь ребра содержит корень. ЗаметимПосле рассмотрения всех рёбер, если разделить путь на две частимы не нашли ребро вне остова, то при добавлении которого создаётся цикл с максимальным ребром будет максимальное среди меньших путей. Разобьём путь <tex>u</tex> таким же как и <tex>v</tex> на пути <tex>u</tex> и <tex>rootv</tex>, <tex>v</tex> то в графе нету другого остовного дерева и <tex>root</tex>наше дерево уникально. Найдём Искать максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>root</tex>, <tex>v</tex> и <tex>root</tex>, максимальное из них и будет являться ответом.*Путь ребра не содержит корень. Будем подниматься из нижней вершины до высокой используя массив <tex>Dp</tex>. Какая из вершин выше узнаём используя функцию isUpper(в LCA используется)дереве мы можем при помощи [[Heavy-light декомпозиция|heavy-light декомпозиции]].

Построение минимального остовного дерева работает за <tex>O(N \log N)</tex>, нахождение максимального ребра за <tex>O(\log N)</tex>, максимальное количество рёбер вне остова не больше <tex>N</tex>, каждое ребро проверяется за <tex>O(\log N)</tex>. Построение LCA и дополнительного массива heavy-light декомпозиции работает за <tex>O(N \log N)</tex>, остов мы построим один раз, LCA heavy-light декомпозицию тоже один раз, каждое ребро мы не больше одного раза проверим на замену, сложность алгоритма <tex>O(N \log N)</tex>.

==ЛитератураИсточники информации==