1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Частично рекурсивными''' (англ. ''partial recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил [[Примитивно рекурсивные функции#Рекурсивные функции | минимизации, подстановки и рекурсии]] из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> I(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le leqslant n </tex>.
}}
Заметим что частично рекурсивная функция может быть не определена для некоторых значений аргументов.
== Вычислимые и частично рекурсивные функции ==
{{Теорема
|statement= Множества [[Вычислимые функции|вычислимых ]] и частично рекурсивных функций совпадают.
|proof=
Программа вычисляющая частично рекурсивную функцию легко пишется на любом языке программирования. Поэтому нам достаточно показать что любая вычислимая функция примитивно рекурсивная. Функции <tex> IN </tex>, <tex> OUT </tex>, <tex> N </tex>, и как представляется состояние [[Машина Тьюринга|машины Тюринга ]] описано в доказательстве [[Рекурсивные Примитивно рекурсивные функции#Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций|теоремы о примитивной рекурсивности вычислимых функций]]. Функция <tex> \mathrm{T([L,R,S,C]) }</tex> возвращает минимальное число шагов за которое программа вычисляющая нашу функцию попадет в состояние <tex> \mathrm{Accepted } </tex>. Покажем что она частично рекурсивная. <tex> \mathrm{T([L,R,S,C]) = \mu t (p_2(N([L,R,S,C],t)) = Accepted) } </tex>, где <tex> p_i </tex> — взятие <tex>i</tex>-того элемента списка. Операции сравнения здесь реализованы также как и примитивно рекурсивных функциях,но если равенство выполняется то функция проверки на равенство возвращает <tex> 0 </tex>, иначе <tex> 1 </tex>. В итоге <tex> \mathrm{F(args) = OUT(N(IN(args),T(IN(args))) } </tex> - — частично рекурсивная функция.
}}
Из этой теоремы и неразрешимости языка программ завершающихся при любом входе, следует алгоритмическая неразрешимость проврк,и частично рекурсивной функции на общерекурсивность.
Каждой примитивно рекурсивной функцией соответствует ее описание, не обязательно единственное. Оно состоит из последовательных определений функций через предыдущие заканчивая нашей функцией. При этом стоит заметить, что в описании не будет перекрестной рекурсии, так как по определению примитивно рекурсивной функции, она должна быть получена из базовых примитивов за конечное число шагов.
Множество описаний одноместных примитивно рекурсивных функций разрешимо, значит все описания можно занумеровать(описания могут содержать и <tex> n </tex> местные функции в качестве промежуточных). По описанию примитивно рекурсивной функции и значением аргумента ее можно вычислить передав функцию вместе с аргументом в соответствующий интерпретатор.
Определим функцию <tex> U(n,x) </tex> равную значению функции полученной из <tex> n </tex>-того описания, в точке <tex> x </tex>. В силу всюду определенности примитивно рекурсивных функций <tex> U(n,x) </tex> {{---}} вычислимая всюду определенная функция, а значит по предыдущей теореме общерекурсивная. <tex> d(n) = U(n,n)+1 </tex> тоже общерекурсивная функция, но она отличается от каждой одноместной примитивно рекурсивной функциии. }}
