Изменения

Но рассмотрим общий случай. По-прежнему у нас есть выпуклая оболочка прямых, имея которую мы за <tex>O(logn\log(n))</tex> можем найти <tex>dp[i]</tex>, но теперь вставку <tex>i</tex>-й прямой в оболочку уже нельзя выполнить описанным ранее способом за <tex>O(1)</tex> в среднем. У нас есть выпуклая оболочка, наша прямая пересекает ее, возможно, «отсекая» несколько отрезков выпуклой оболочки в середине (рис. 4 : красная прямая - та, которую мы хотим вставить в наше множество). Более формально : теперь наша новая прямая будет ниже остальных при <tex>x \in [x1; x2]</tex>, где <tex>x1, x2 \in R</tex> - точки пересечения с некоторыми прямыми, причем <tex>x2</tex> не обязательно равно <tex>+ \infty</tex>

Чтобы уметь вставлять прямую в множество будем хранить <math>std::set</math> (или любой аналог в других языках программирования) пар <tex>(k, st)</tex> = <tex>(коэффицент прямой, ее номер в глобальной нумерации)</tex>. Когда приходит новая прямая, ищем последнюю прямую с меньшим угловым коэффицентом, чем у той прямой, которую мы хотим добавить в множество. Поиск такой прямой занимает <tex>O(\log(n))</tex>. Начиная с найденной прямой выполняем "старый" алгоритм (удаляем, пока текущая прямая множества бесполезна). И симметричный алгоритм применяем ко всем прямым справа от нашей (удаляем правого соседа нашей прямой, пока она пересекает нас позже, чем своего правого соседа).

Асимптотика решения составит <tex>O(logn\log(n))</tex> на каждый из <tex>n</tex> запросов «добавить прямую» + <tex>O(n * \cdot\log(n))</tex> суммарно на удаление прямых, т.к. по-прежнему каждая прямая не более одного раза удалится из множества, а каждое удаление из std::set занимает <tex>O(\log(n))</tex> времени. Итого <math>O(nlogn)</math>.