403
правки
Изменения
сейчас табличку доделаю
{{В разработке}}
== Некоторые определения ==
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
за аксиому, приходим к понятию полного метрического пространства:
<tex>\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) = 0</tex>
Например, в связи с критерием Коши, <tex>\mathbb{R}</tex> {{---}} полное метрическое пространство.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A, B \in X</tex>, <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>B</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>A</tex>, если
<tex>\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) < \varepsilon</tex>.
}}
Особый интерес представляют конечные <tex>\varepsilon</tex>-сети.
{{Определение
|definition=
<tex>A \in X</tex> {{---}} вполне ограничено в <tex>X</tex>, если <tex>\forall \varepsilon \ \exists </tex> конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
}}
== Теорема Хаусдорфа ==
{{Теорема
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
|proof=
1. Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) > \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j), j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \varepsilon_0</tex>.
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увы.
2. <tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
Рассмотрим последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Так как множество ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном числе шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
Расстотрим последовательность <tex>\varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_\varepsilon(y_k)</tex>
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число.
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.
<tex>K_1 = V_{\varepsilon_1} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.
Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее<tex>\ldots</tex>
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к себе, то, так как <tex>K</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
Рассмотрим <tex>\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})</tex>
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
В этои неравенстве <tex>p</tex> {{---}} произвольное. Тогда так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится к себе, значит, по полноте, у неё есть предел.
{{TODO|t=казалось бы, причём здесь компакт?}}
}}
