Изменения
Добавлена статья. Похоже, что там всё отлично
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
Формула Валлиса {{---}} одна из первых формул, в которой число <tex>\pi</tex> выражено в виде последовательности рациональных чисел.
Однако, так как она очень медленно приближается к <tex>\pi</tex>, на практике её использование бессмысленно.
{{Определение
|definition=
<tex>(2n)!! = 2\cdot4\cdot\ldots\cdot2n</tex>
}}
{{Определение
|definition=
<tex>(2n + 1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n - 1)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\frac\pi2 = \lim\limits_{n \to \infty} \left[\frac{2n!!}{(2n-1)!!}\right]^2 \cdot \frac1{2n+1}</tex>
|proof=
Рассмотрим последовательность <tex>I_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n x dx</tex> и выведем для неё рекуррентную формулу.
<tex>I_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n x dx = </tex> <tex>\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{n - 1} x d\cos x = </tex>
<tex>-\sin^{n -1}\cos x|^{\pi/2}_0 + \int\limits_0^{\pi/2} \cos x d \sin^{n-1}x = </tex>
<tex>(n - 1)\int\limits_0^{\pi/2} \sin^{n - 2} x \frac{\cos^2x}{1-\sin^2x}dx = </tex>
<tex>(n - 1)(I_{n - 2} - I_n)</tex>
Получили: <tex>I_n = (n - 1)(I_{n - 2} - I_n)</tex>.
<tex>I_n = \frac{n -1}nI_{n-2}</tex>
Получена рекуррентная формула с шагом два. Значит, для её вычисления нужно найти <tex>I_0</tex> и <tex>I_1</tex>.
<tex>I_0 = \int\limits_0^{\pi/2} 1 dx = \frac\pi2</tex>
<tex>I_1 = \int\limits_0^{\pi/2} \sin x dx = -\cos x|_0^{\pi/2} = 1</tex>
Раскроем рекуррентность:
<tex>I_n =</tex> <tex>\frac{n - 1}n I_{n - 2} =</tex> <tex>\frac{n - 1}n \cdot \frac{n - 3}{n - 4} I_{n - 4} = </tex> <tex>\ldots</tex>.
Посчитаем отдельно для случая чётного и нечётного <tex>n</tex>.
<tex>I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \ldots \cdot 1 = \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!}</tex>
<tex>I_{2n} = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \ldots \cdot \frac\pi2 = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac\pi2</tex>
Так как при <tex>x \in \left[0; \frac\pi2\right]</tex> <tex>\sin x \geq 0</tex>, <tex>\sin^{n + 1} x \leq \sin^n x</tex>.
Тогда <tex>I_{n + 1} \leq I_n</tex>
Также, <tex>I_{2n+1} \leq I_{2n} \leq I_{2n-1}</tex>. Распишем это неравенство:
<tex>\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \leq \frac\pi2 \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \leq \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}</tex>.
Домножим всё на <tex>\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}</tex>. За <tex>a_n</tex> обозначим то, что находится под знаком предела в формуле Валлиса.
<tex>a_n \leq \frac\pi2 \leq \frac{2n+1}{2n} a_n = a_n(1 + \frac1{2n})</tex>
Рассмотрим разность крайних выражений: <tex>a_n(1 + \frac1{2n}) - a_n = a_n\frac1{2n} \leq \frac\pi2 \frac1{2n}</tex>.
Это при устремлении <tex>n \to \infty</tex> стремится к <tex>0</tex>:
<tex>0 \leq \frac\pi2 - a_n \leq \frac\pi2 \frac1{2n}</tex>
}}
