Изменения
Новая страница: «==Лемма о сложении потоков== {{Лемма |statement= Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источник…»
==Лемма о сложении потоков==
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - поток в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
|proof=
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. <br>
1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex>, справедливо: <br> <br> <tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>.<br> <br>
2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что <tex>f'(u,v) \le c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br> <br>
<tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) </tex>. <br> <br>
3) Заметим, что для всех <tex>u \in V - \{s,t\}</tex> справедливо равенство <br> <br>
<tex> \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0</tex> <br> <br>
<tex> |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - поток в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
|proof=
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. <br>
1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex>, справедливо: <br> <br> <tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>.<br> <br>
2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что <tex>f'(u,v) \le c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br> <br>
<tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) </tex>. <br> <br>
3) Заметим, что для всех <tex>u \in V - \{s,t\}</tex> справедливо равенство <br> <br>
<tex> \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0</tex> <br> <br>
<tex> |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|</tex>
}}
