Изменения
Нет описания правки
|about=о единственном паросочетании в подграфе замен, индуцированном кратчайшим путем
|statement =
Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле выделено два подмножества вершин <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in \mathcal{I}_2 \}</tex>. <tex>P</tex> {{---}} кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. <br><tex>G'</tex> {{---}} подграф <tex>G</tex>, включающий множество вершин, лежащих на пути <tex>P</tex>. Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|полное паросочетание]].
|proof =
[[Файл:Граф_индуцированный_кратчайшим_путем.png | thumb | left | Рис. 1]]
Докажем единственность.
:Пусть существует другое паросочетание <tex>\langle a_i, b_{j_i} \rangle</tex>. Тогда пусть <tex>i_0 = \min \{ i \: \mid \: j_i < i \}</tex>.
:Обозначим <tex>j_{i_0}</tex> как <tex>i_1</tex>. Заметим, что <tex>i_1 < i_0</tex> (так как <tex>j_{i_0} < i_0 </tex> по определению <tex>i_0</tex>) и поэтому не может быть <tex>j_{i_1} < j_{i_0}</tex>, ведь <tex>i_0</tex> — минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно <tex>j_{i_1} = j_{i_0}</tex>, поскольку тогда <tex>a_{i_0}</tex> и <tex>a_{i_1}</tex> имели бы одинаковую пару.
:Следовательно, <tex>j_{i_1} > j_{i_0}</tex> (рис. 2). Это значит, что существует путь <tex>P_1 = (a_1, b_1, \ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1} + 1}, \ldots, a_k, b_k )</tex> короче, чем <tex>P</tex>, что противоречит тому, что <tex>P</tex> {{---}} кратчайший путь.
}}
